Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2017 – 28 iunie 2017, varianta 9, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1
2 : 3
2 2
 
− = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + . Calculați ( ) ( )1 1f f− ⋅ .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2
3 9x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }11, 22,33, 44,55,66,77,88,99A = ,
acesta să fie multiplu de 2.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A şi ( )2, 1B − . Arătați că AO OB= .
5p 6. Arătați că 2 2 1
sin 45 cos 60 4
° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 3
3 1
A  
=  
 
și 0 2
2
B x
 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 8A = − .
5p b) Arătați că 22 8A A A I⋅ − = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p c) Demonstrați că ( )det 0A B B A⋅ − ⋅ ≥ , pentru orice număr real x .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 3 2f X X X= + − − .
5p a) Arătați că ( )1 2f = .
5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 1X + .
5p c) Determinați rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4 2
2 12f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 4 1 1f x x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
2
4
1 1
lim 2x
x
f x x→+∞
+ = −
− .
5p c) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
3 2 4f x x x= + − .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
2 4 7f x x dx− + =∫ .
5p b) Determinați primitiva F a funcției f pentru care ( )1 2017F = .
5p c) Determinaţi numărul real a pentru care ( ) 3
1
2
a
f x dx a= −∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3
2 2 2
− = 2p
3 1 3 2
: 3
2 2 2 1
= ⋅ = 3p
2. ( )1 2f − = 2p
( ) ( ) ( )1 2 1 1 4f f f= ⇒ − ⋅ = 3p
3. 2 2 2x + = 3p
0x = 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Multiplii de 2 din mulțimea A sunt 22 , 44 , 66 și 88 , deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4
nr. cazuri posibile 9
p = = 1p
5. 5AO = 2p
5BO AO BO= ⇒ = 3p
6. 2
sin 45 2
° = , 1
cos 60 2
° = 2p
2 2
2 2 2 1 2 1 1
sin 45 cos 60 2 2 4 4 4
   
° − ° = − = − =       
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 3
det 1 1 3 3
3 1
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
1 9 8= − = − 2p
b) 10 6
6 10
A A  
⋅ =  
 
, 2 6
2 6 2
A  
=  
  3p
2
10 6 2 6 8 0 1 0
2 8 8
6 10 6 2 0 8 0 1
A A A I
       
⋅ − = − = = ⋅ =       
        2p
c) 6 2 3
2 6
x
A B x
+ 
⋅ =  
+ 
, 6 2
2 3 6
B A x x
 
⋅ =  
+ +  2p
( ) 20 3 0 3
det 9 0
3 0 3 0
x x
A B B A A B B A x
x x
 
⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = = ≥ 
− − 
, pentru orice număr real x 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) 3 2
1 2 1 3 1 1 2f = ⋅ + ⋅ − − = 3p
2 3 1 2 2= + − − = 2p
b) Câtul este 2
2 2X X+ − 3p
Restul este 0 2p
c) ( )( )2
1 2 2f X X X= + + − 2p
1 1x = − , 2
1 17
4
x − −
= și 3
1 17
4
x − +
= sunt rădăcinile polinomului f 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 3
' 4 4f x x x= − = 3p
( ) ( )( )2
4 1 4 1 1x x x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b)
( )
2 2
4 2
1 1
lim lim 2 12x x
x x
f x x x→+∞ →+∞
+ +
= =
− − + 2p
2
2
1
1 1
lim 12 22
x
x
x
→+∞
+
= = −
− +
3p
c) ( )1 11f = , ( )' 1 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 11y = 3p
2.a)
( )( ) ( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2 4 3 2 4 2 4 3f x x dx x x x dx x dx− + = + − − + = =∫ ∫ ∫ 2p
3 2
8 1 7
1
x= = − = 3p
b) :F →ℝ ℝ , ( ) 3 2 4F x x x x c= + − + , unde c ∈ ℝ 3p
( )1 2017 2019F c= ⇒ = , deci ( ) 3 2 4 2019F x x x x= + − + 2p
c)
( ) ( )3 2 3 2
1
4 4 2
1
a a
f x dx x x x a a a= + − = + − +∫ 3p
( )23 2 3
4 2 2 2 0a a a a a+ − + = − ⇔ − = , deci 2a = 2p