Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2017 – sesiunea specială, varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 7
2 : 2
3 6
 
+ = 
  .
5p 2. Arătați că ( )2
1 2 1 26 1x x x x+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 5 4 0x x− + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 5 2x − = .
5p 4. După o ieftinire cu 25% , preţul unui televizor este 600 de lei. Determinați preţul televizorului
înainte de ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O şi ( )8,6M . Calculaţi distanța dintre
punctele O și M .
5p 6. Arătați că 2 2
sin 135 sin 45 1° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
0 2
A  
=  
 
și 1 2
2 0
B − − 
=  
 
.
5p a) Arătați că det 2A = .
5p b) Arătați că ( )( ) 0 0
0 12
A B B A  
+ − =  
− 
.
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝM , știind că A X B⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3x y x y∗ = + − .
5p a) Arătaţi că 1 2 0∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( )2 1x x∗ = − .
5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care 3n n n n∗ ∗ ∗ < .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
2f x x x x= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 1 3 1f x x x= + + , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
( )
1
lim ' 3x
f x
x f x→+∞
= .
5p c) Demonstrați că ( ) 4
27
f x ≥ − , pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 2 1f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
1 2
0
1
1 2
f x x dx− − =∫ .
5p b) Demonstrați că funcţia :F → ℝR , ( ) 3 21 1 2017
3 2
F x x x x= + + + este o primitivă a funcţiei f .
5p c) Determinaţi numărul natural n , ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa
Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = și 2x = are aria egală cu 2 7
3
n − .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 7
2 3 3
+ = 3p
7 7 7 6
: 2
3 6 3 7
= ⋅ = 2p
2. 1 2 5x x+ = , 1 2 4x x = 2p
( )2
1 2 1 26 25 24 1x x x x+ − = − = 3p
3. 3 5 4x − = 3p
3x = , care convine 2p
4. 25% 600p p− ⋅ = , unde p este prețul televizorului înainte de ieftinire 3p
800p = de lei 2p
5. ( ) ( )2 2
8 0 6 0OM = − + − = 3p
10= 2p
6. 2
sin135 2
° = , 2
sin 45 2
° = 2p
2 2
2 2 2 2 1 1
sin 135 sin 45 1
2 2 2 2
   
° + ° = + = + =      
   
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2
det 1 2 0 2
0 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
2 0 2= − = 2p
b) 0 0
2 2
A B  
+ =  
  2p
( )( )
2 4 0 0 0 0
2 2 0 8 4 0 12
B A A B B A
− −     
− = ⇒ + − = =     
− − − −      3p
c)
det 0A ≠ , 1
1 1
1
0 2
A−
− 
 =   
 
3p
1 3 2
1 0
X A B X− − − 
= ⋅ ⇒ =  
  2p
2.a) 1 2 1 2 3∗ = + − = 3p
3 3 0= − = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 2 2
3 1 2 0x x x x+ − = − ⇔ + − = 3p
2x = − sau 1x = 2p
c) 4 9n n n n n∗ ∗ ∗ = − 2p
4 9 3 3n n− < ⇒ < și, cum n este număr natural nenul, obținem 1n = sau 2n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2' ' '' 2f x x x x= + + = 2p
( )( )2
3 4 1 1 3 1x x x x= + + = + + , x ∈ ℝ 3p
b) ( )
( ) ( )( )
3 2
2
lim lim
' 1 3 1x x
f x x x x
x f x x x x→+∞ →+∞
+ +
= =
+ + 2p
2
2 1
1 1
lim 1 1 3
1 3
x
x x
x x
→+∞
+ +
= =
  
+ +  
  
3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = − sau 1
3
x = − 1p
( )
1
1, ' 0
3
x f x
 
∈ − − ⇒ ≤ 
  , deci funcția f este descrescătoare pe 1
1, 3
 
− − 
  și
( )
1 , ' 0
3
x f x
 
∈ − +∞ ⇒ ≥
  , deci funcția f este crescătoare pe 1 ,
3
 
− +∞ 
 
2p
( ) 1
3
f x f  
≥ − 
  pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ și, cum 1 4
3 27
f  
− = − 
  , obținem ( ) 4
27
f x ≥ − ,
pentru orice [ )1,x ∈ − +∞
2p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1 1 1f x x dx x x x dx x dx− − = + + − − = =∫ ∫ ∫ 2p
2 1 1 1
0
2 2 20
x
= = − = 3p
b)
( ) 3 2 2
'1 1 1 1
' 2017 3 2 1
3 2 3 2
F x x x x x x
 
= + + + = ⋅ + ⋅ + = 
  3p
( )2 1x x f x= + + = , x ∈ ℝ 2p
c)
( ) ( )
2 2 3 2
2
0 0
2 20
1 3 2 30
x x
f x dx x x dx x
 
= = + + = + + =  
 
∫ ∫
A 3p
Cum n este număr natural, din 2 7 20
3 3
n − = , obținem 3n = 2p