Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2017 – sesiunea specială, varianta 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 10
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 10
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 8
4 2
4 15
 
− ⋅ = 
  .
5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul ( )1,5A aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2
f x x m= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 1x x+ + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = , acesta
să verifice egalitatea ( )( )2 4 0n n− − = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3M , ( )4,3N și ( )4,0P . Calculați perimetrul
triunghiului MNP .
5p 6. Arătați că 2 2
sin 120 cos 30 0° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 3
3 4
A  
=  
− 
și 2 2
2 2
B  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 13A = − .
5p b) Arătați că 0 10
10 0
A B B A  
⋅ − ⋅ =  
− 
.
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )2det 0B B xI⋅ − = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
2. Se consideră polinomul 3 2
3 3f X X X= + − − .
5p a) Arătați că ( )1 0f = .
5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2X − .
5p c) Demonstrați că 2 2 2
1 2 3 11x x x+ + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3
2 6 4f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 6 1 1f x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
1
lim 0
1x
f x
x→ =
− .
5p c) Demonstrați că ( )0 8f x≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 5f x x x= + .
5p a) Arătaţi că ( )( )
1
0
1
5 3
f x x dx− =∫ .
5p b) Arătaţi că funcția :F →ℝ ℝ , ( ) 3 21 5 2017
3 2
F x x x= + + este o primitivă a funcției f .
5p c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei
[ ]: 1, 2g → ℝ , ( ) ( )f x
g x x
= este egal cu 127
3
π .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 10
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 15
4 4 4
− = 3p
15 8 2
4 15
⋅ = 2p
2. ( )1 5 1 5f m= ⇔ + = 3p
4m = 2p
3. 2 2
1 1 0x x x x+ + = ⇔ + = 2p
1x = − sau 0x = , care convin 3p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 1p
Numerele din mulțimea A care verifică egalitatea dată sunt 2 și 4 , deci sunt 2 cazuri
favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 2
nr. cazuri posibile 9
p = = 2p
5. 4MN = , 3NP = , 5MP = 3p
4 3 5 12MNPP∆ = + + = 2p
6. 3
sin120 2
° = , 3
cos30 2
° = 2p
2 2
2 2 3 3
sin 120 cos 30 0
2 2
   
° − ° = − =      
   
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
1 3
det 1 4 3 3
3 4
A = = ⋅ − − ⋅ =
− 3p
4 9 13= − − = − 2p
b) 8 8
2 2
A B  
⋅ =  
− −  2p
8 2 0 10
8 2 10 0
B A A B B A
−   
⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ =   
− −    3p
c) 8 8
8 8
B B  
⋅ =  
 
, ( ) 2
2 2
8 8 8 8
det 16
8 8 8 8
x x
B B xI B B xI x x
x x
− − 
⋅ − = ⇒ ⋅ − = = − 
− −  3p
2 16 0 0x x x− = ⇔ = sau 16x = 2p
2.a) ( ) 3 2
1 1 3 1 1 3f = + ⋅ − − = 3p
1 3 1 3 0= + − − = 2p
b) Câtul este 2 5 9X X+ + 3p
Restul este 15 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 3x x x+ + = − , 1 2 2 3 3 1 1x x x x x x+ + = − 2p
( ) ( ) ( )22 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 12 9 2 1 11x x x x x x x x x x x x+ + = + + − + + = − ⋅ − = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
6 6f x x′ = − = 3p
( ) ( )( )2
6 1 6 1 1x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) ( ) ( )
1 1
1
lim lim
1 1x x
f x f x f
x x→ →
−
= =
− − 2p
( )' 1 0f= = 3p
c) [ ] ( )1,1 ' 0x f x∈ − ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe [ ]1,1− 2p
Cum ( )1 8f − = și ( )1 0f = , obținem ( )0 8f x≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − 3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
2 2
0 0 0
5 5 5f x x dx x x x dx x dx− = + − = =∫ ∫ ∫ 2p
3 1 1 1
0
3 3 30
x
= = − = 3p
b)
( ) 3 2 21 5 1 5
' 2017 3 2
3 2 3 2
F x x x x x
′ 
= + + = ⋅ + ⋅ = 
 
3p
( )2 5x x f x= + = , x ∈ ℝ 2p
c)
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1
5 10 25g x x V g x dx x x dx
π
π= + ⇒ = = + + =∫ ∫ 3p
3 2 2 127
5 25
3 31
x x x
π
π  
= + + =  
 
2p