Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2017 – sesiunea iunie–iulie, 28 iunie 2017, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 4
2 2
2 5
 
+ ⋅ = 
  .
5p 2. Arătați că 1 2
1 2
1 1
x x
x x
+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 4 3 0x x− + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1
2 8x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2,3,4,5,6,7,8,9A = , acesta să fie
multiplu de 4.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3A şi ( )4,0B . Calculați perimetrul
triunghiului OAB .
5p 6. Arătați că 2 2
sin 150 sin 60 1° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 2
2 3
A  
=  
 
și 1 1
1
B a
 
=  
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că det 5A = .
5p b) Determinaţi numărul real a pentru care 2B B B⋅ = .
5p c) Arătați că ( )det 0A B B A⋅ − ⋅ ≥ , pentru orice număr real a .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 12x y xy x y= − − +
 .
5p a) Arătaţi că 1 3 3=
 .
5p b) Demonstrați că ( )( )3 3 3x y x y= − − +
 , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( ) 3x x x =
 
 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 6 2f x x x= + + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )2
' 3 2f x x= + , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
0
'
lim 3
2x
f x
x→
=
+ .
5p c) Demonstrați că ( )5 9f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 3
4f x x x= − .
5p a) Arătaţi că ( )( )
1
0
1f x x dx+ =∫ .
5p b) Arătaţi că ( )( )
1 3
0
4 1x
x f x e dx− =∫ .
5p c) Determinaţi aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații
1x = și 3x = .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 5
2 2 2
+ = 3p
5 4 2
2 5
⋅ = 2p
2. 1 2 4x x+ = , 1 2 3x x = 2p
1 2
1 2
1 4 1 1
3
x x
x x
+ − −
= = 3p
3. 1 3
2 2 1 3x x+ = ⇔ + = 3p
2x = 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Multiplii de 4 din mulțimea A sunt 4 și 8, deci sunt 2 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 2
nr. cazuri posibile 9
p = = 1p
5. ( ) ( )2 2
4 0 0 3 5AB = − + − = , 3AO = , 4BO = 3p
5 3 4 12AOBP AB AO BO∆ = + + = + + = 2p
6. 1
sin150 2
° = , 3
sin 60 2
° = 3p
22
2 2 1 3 1 3
sin 150 sin 60 1
2 2 4 4
  
° + ° = + = + =       
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 3 2
det 3 3 2 2
2 3
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
9 4 5= − = 2p
b)
2
2 1
1 1
a
B B a a
+ 
⋅ =   + +  2p
2 2
2 2 2
B a
 
=  
 
, deci 2 1B B B a⋅ = ⇔ = 3p
c) 5 3 2 5 5 0 2 2
5 2 3 3 2 2 3 2 2 0
a a
A B B A a a a a
+ −     
⋅ − ⋅ = − =     
+ + + −      3p
( ) ( )20 2 2
det 2 2 0
2 2 0
a
A B B A a
a
−
⋅ − ⋅ = = − ≥
− , pentru orice număr real a 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) 1 3 1 3 3 1 3 3 12= ⋅ − ⋅ − ⋅ + =
 3p
3 3 9 12 3= − − + = 2p
b) 3 3 9 3x y xy x y= − − + + =
 2p
( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 3x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
c) ( )2
3 3x x x= − +
 , ( ) ( )3
3 3x x x x= − +
 
 3p
( )3
3 3 3 3x x− + = ⇔ = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( ) ( )3
' 6 2f x x x
′ ′ ′= + + = 2p
( )2 2
3 6 3 2x x= + = + , x ∈ ℝ 3p
b) ( ) ( )2
0 0
3 2'
lim lim
2 2x x
xf x
x x→ →
+
= =
+ +
2p
( )2
3 0 2 3
0 2
+
= =
+
3p
c) [ ] ( )1,1 ' 0x f x∈ − ⇒ > , deci f este crescătoare pe [ ]1,1− 2p
Cum ( )1 5f − = − și ( )1 9f = , obținem ( )5 9f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − 3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
3 3
0 0 0
4 4f x x dx x x x dx x dx+ = − + = =∫ ∫ ∫ 2p
4 1
1
0
x= = 3p
b)
( )( ) ( )
1 1 1
3 3 3
0 0 0
4 4 4x x x
x f x e dx x x x e dx xe dx− = − + = =∫ ∫ ∫ 2p
( ) 1
1 1
0
x
x e= − = 3p
c)
( ) ( )
3 3 2
3 4
1 1
3
4 2 1
x
f x dx x x dx x
 
= = − = − =  
 
∫ ∫
A 3p
9 1
81 1 76
2 2
= − − + = 2p