Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2017 – sesiunea specială, varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 3 2z i= + și 2 3 2z i= − . Arătați că numărul 1 2z z+ este real.
5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că punctul ( )2,M m aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2 3f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 5 2
3 3x− −
= .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea { }1, 2, 3, , 20A = … , acesta să fie
multiplu de 5.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ) ( )2,5 , 1,3A B și ( ),1C m , unde m este număr
real. Determinați numărul real m , știind că punctul C aparține dreptei AB .
5p 6. Se consideră ( ) cos sin
2
xE x x= + , unde x este număr real. Arătați că 3
3
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 1
2 1
3 0 1
x x
A x x
+ 
 =  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Determinați numărul real x , pentru care ( ) ( ) ( )2 2 2A x A x A+ + = .
5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ), 1M n n + , ( )2,N n și ( )3,0P . Determinați
numărul natural n , știind că punctele M , N și P sunt coliniare.
2. Se consideră polinomul 3 2 1f X aX X= + + − , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( )1 1 4f f− − = , pentru orice număr real a .
5p b) Pentru 2a = , calculați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 1X X+ + .
5p c) Determinați numărul real a pentru care 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1x x x x x x x x x x x x+ + + + + = − , unde 1x , 2x
și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 2 1
1
x xf x x
− += − .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )2
2
'
1
x x
f x
x
−
=
−
, ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ( )lim 0
1xx
f x
e→+∞ =
+ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2x
f x e x= + .
5p a) Arătați că ( )( )
1
0
2 1f x x dx e− = −∫ .
5p b) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei
[ ]: 0,1g → ℝ , ( ) ( ) x
g x f x e= − .
5p c) Determinaţi numărul real a , știind că ( ) 3
0
2
1 3
a a
x f x dx = +∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 2 3 2 3 2z z i i+ = + + − = 2p
6= , care este număr real 3p
2. ( )2 4 3f m m= ⇔ − = 3p
1m = 2p
3. 3 5 2
3 3 3 5 2x x− −
= ⇔ − = − 3p
1x = 2p
4. Mulțimea A are 20 de elemente, deci sunt 20 de cazuri posibile 2p
În mulțimea A , multiplii de 5 sunt numerele 5 , 10 , 15 și 20 , deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4 1
nr. cazuri posibile 20 5
p = = = 1p
5. Ecuația dreptei AB este 2 1y x= + 3p
1 2 1 0C AB m m∈ ⇔ = + ⇔ = 2p
6. cos sin
3 6 3
E
π
π π  = + = 
  2p
3 3 3
2 2
= + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 1 1 0 1 1
0 2 0 1 det 0 2 0 1
3 0 1 3 0 1
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
0 0 3 0 0 2 1= + + − − − = 3p
b)
( ) ( )
1 1 2 3 1 2 2 2 4 2
2 2 1 2 2 1 4 2 2 2
3 0 1 3 0 1 6 0 2
x x x x x x
A x A x x x x
+ + + + +     
     
+ + = + + = +     
     
     
2p
( )
4 6 2
2 2 4 4 2
6 0 2
A
 
 
=  
 
 
, deci 1x = 3p
c)
Punctele ( ), 1M n n + , ( )2,N n și ( )3,0P sunt coliniare
1 1
2 1 0
3 0 1
n n
n
+
⇔ = 2p
2 2 1 0n n− + = , deci 1n = 3p
2.a) ( ) 3 2
1 1 1 1 1 1f a a= + ⋅ + − = + 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 4f a a f f a a− = − + ⋅ − + − − = − ⇒ − − = + − + = , pentru orice
număr real a 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) 3 2
2 1f X X X= + + − , câtul este 1X + 3p
Restul este 2X− − 2p
c) 1 2 3x x x a+ + = − , 1 2 1 3 2 3 1x x x x x x+ + = , 1 2 3 1x x x = 3p
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x a+ + + + + = − ⇔ − + = − , deci 1a = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2 1 1 1 1
1
x x x x
f x
x
− − − − + ⋅
′ = =
−
3p
( )
( )
( )
2
2 2
22
1 1
x xx x
x x
−−
= =
− −
, ( )1,x ∈ +∞ 2p
b) ( )2 3f = , ( )' 2 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )2 ' 2 2y f f x− = − , adică 3y = 3p
c) ( )
( )( ) ( )
2 2
1 1
lim lim lim 11 11 1
x xxx x x
f x x x x x x
x xe ex e→+∞ →+∞ →+∞
 − + − +
= = ⋅ =  −+ +− +   2p
1 0 0= ⋅ = , deoarece ( )
2 1
lim 1
1x
x x
x x→+∞
− + =
− şi 1
lim lim 0
1x xx x
x
e e→+∞ →+∞
= =
+ 3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1
2 2 2 0
x x x
f x x dx e x x dx e dx e− = + − = = =∫ ∫ ∫ 3p
1 0 1e e e= − = − 2p
b)
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
2 4g x x V g x dx x dx
π
π= ⇒ = = =∫ ∫ 3p
3 1 4
4 3 30
x
π
π= ⋅ = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
0 0
2
2 1 2 1 1
3 30 0
a a x x a
a ax a
x f x dx x e x dx x e a e= + = − + ⋅ = − + +∫ ∫ 3p
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 1 1 0 1
3 3
a aa a
a e a e a− + + = + ⇔ − = ⇔ = 2p