Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2017 – sesiunea iunie–iulie, 28 iunie 2017, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , ştiind că 1 4a = și 2 7a = .
5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 4 1 0x x− + = . Arătați că ( )1 2 1 24 0x x x x− + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 1
2 8
x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie multiplu de 15 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,1A , ( )1,1B și ( )3,C a , unde a este număr
real. Determinați numărul real a , știind că punctele A , B și C sunt coliniare.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 4 3AB = , 4AC = și 3
sin 2
C = . Calculați sin B .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 0
0
x
A x x
 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = − .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) 2A x A y xyI= , pentru orice numere reale x și y , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p c) Determinați numărul real a , știind că ( ) ( ) ( ) ( )1 2
3 3 3 27a a a
A A A A+ + = .
2. Se consideră polinomul 3 2 2 4f X mX X= + + − , unde m este număr real.
5p a) Pentru 1m = , arătați că ( )1 0f = .
5p b) Arătați că, dacă polinomul f se divide cu 2X + , atunci restul împărțirii lui f la 3X + este egal
cu 1− .
5p c) Determinați numărul real m , știind că 1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
2
x x x
x x x
+ + + + + = , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2017
x
x
f x e
+
= .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )2016
' x
x
f x e
− +
= , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că funcția f este convexă pe [ )2015,− +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
1
1
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
1
0
1 4
3
dx
f x =∫ .
5p b) Determinați primitiva F a funcţiei f , știind că ( )1 1
4
F
π
= + .
5p c) Determinați numărul natural n , știind că ( )
0
1 ln 5
2
n
x f x dx =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 3r a a= − = 3p
3 10a = 2p
2. 1 2 4x x+ = , 1 2 1x x = 2p
( )1 2 1 24 4 1 4 0x x x x− + = ⋅ − = 3p
3. 2 1 3
2 2 2 1 3x x+ −
= ⇔ + = − 3p
2x = − 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre, multiplii de 15 sunt numerele 15 , 30 , 45 ,
60 , 75 și 90 , deci sunt 6 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 6 1
nr. cazuri posibile 90 15
p = = = 1p
5. 0ABm = , 1
3
AC
a
m −
= 2p
1 0 1
3
AB AC
a
m m a
−
= ⇔ = ⇔ = 3p
6. 3
4 2sin
sin sin 4 3
AB AC B
C B
⋅
= ⇒ = = 3p
1
2
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
0 1 0 1
1 det 1
1 0 1 0
A A
 
= ⇒ = = 
  2p
0 1 1= − = − 3p
b) ( ) ( ) 0 0 0
0 0 0
x y xy
A x A y x y xy
    
= = =    
     3p
2
1 0
0 1
xy xyI
 
= = 
 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 3
3 3 3 3a a a a
A A A A+ + +
= 3p
( ) ( )3 3 3 3 3
3 27 3 3a a
A A+ +
= ⇒ = , de unde obținem 0a = 2p
2.a) ( )3 2 3 2
2 4 1 1 1 2 1 4f X X X f= + + − ⇒ = + + ⋅ − = 3p
1 1 2 4 0= + + − = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) ( )2 0 4f m− = ⇒ = , deci 3 2
4 2 4f X X X= + + − 3p
( )3 27 36 6 4 1f − = − + − − = − 2p
c) 1 2 3x x x m+ + = − , 1 2 2 3 3 1 2x x x x x x+ + = , 1 2 3 4x x x = 3p
( )1 2 2 3 3 1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1
2
x x x x x x
x x x x x x m
x x x x x x
+ +
+ + + + + = + + + = − , deci 0m = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )( )
( )2
''2017 2017
'
x x
x
x e x e
f x
e
+ − +
= = 3p
( )
( )
( )
2
1 2017 2016x
xx
e x x
ee
− − − +
= = , x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 2017f = , ( )' 0 2016f = − 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 2016 2017y x= − + 3p
c) ( ) 2015
'' x
x
f x e
+
= , x ∈ ℝ 2p
( )'' 0f x ≥ pentru orice [ )2015,x ∈ − +∞ , deci f este convexă pe [ )2015,− +∞ 3p
2.a)
( )
1 3
2
0
1
1 3 0
x
x dx x
 
+ = + =  
 
∫ 3p
1 4
1
3 3
= + = 2p
b) :F →ℝ ℝ , ( ) arctgF x x c= + , unde c ∈ ℝ 2p
( )1 1
4
F c c
π
= + ⇒ = , deci ( ) arctg 1F x x= + 3p
c)
( ) ( ) ( )2 2
2
0 0
1 1
ln 1 ln 1
2 21 0
n n nx
x f x dx dx x n
x
= = + = +
+
∫ ∫ 3p
( )21 1
ln 1 ln 5
2 2
n + = , deci 2 1 5n + = , de unde obținem 2n = 2p