Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2017 – sesiunea august–septembrie, 23 august 2017, varianta 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați primul termen al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 3 10a = și rația 3r = .
5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că punctul ( )1,3A aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2 2f x x mx m= − + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 1
4 4 2
x + = .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale pare, de două cifre distincte, au cifrele elemente ale mulțimii
{ }1, 2, 3, 4 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4, 2A şi ( )2, 4B . Determinaţi ecuația mediatoarei
segmentului AB .
5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului dreptunghic ABC care are catetele 8AB =
și 6AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 2 5
5 1
x
A x + 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 4A − = − .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )2017 2017A x A x A A+ − = + − , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numerele reale p și q , pentru care ( ) 6
0 6
p
A q
   
=   
   
.
2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție 6 6 30x y xy x y= + + + .
5p a) Arătați că ( )( )6 6 6x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Arătați că 5e = − este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )2017 2017 6x − = −  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 lnf x x
x
= + .
5p a) Arătați că ( ) 2
2
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Demonstrați că 2 ln 1 ln 2x
x + ≥ + , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 2
2
x
f x x
+
= .
5p a) Arătaţi că ( )
2
1
13
2 3
x f x dx =∫ .
5p b) Determinați primitiva F a funcției f , pentru care ( )1 1F = .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )( ) 2
1
2 ' 1
n
f x x f x dx n+ = −∫ , pentru orice număr natural n , 2n ≥ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3 2 10 6a a r= − = − = 3p
4= 2p
2. ( )1 3 1 2 3f m m= ⇔ − + = 3p
2m = 2p
3. 11
4 4 4
4
x x −
= ⇔ = 3p
1x = − 2p
4. Cifra unităților se poate alege în 2 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 moduri, deci se
pot forma 3 2 6⋅ = numere 3p
5. 3Mx = și 3My = , unde M este mijlocul segmentului AB 2p
mediatoare1 1ABm m= − ⇒ = , deci ecuația mediatoarei segmentului AB este y x= 3p
6. 10BC = 2p
5R = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 1 1 1
2 det 2
5 1 5 1
A A
 
− = ⇒ − = = 
  2p
1 5 4= − = − 3p
b) ( ) ( ) 1 2 5 1 2 5 2 10
5 1 5 1 10 2
x x
A x A x + − +     
+ − = + =     
      3p
( ) ( ) ( ) ( )
2 10
2017 2017 10 2
A A A x A x
 
+ − = = + − 
 
, pentru orice număr real x 2p
c) ( ) 1 5 5
0 5 1 5
p p p q
A q q p q
+      
= =      
+       3p
5 6 1
5 6
p q p q
p q
+   
= ⇔ = =   
+    2p
2.a) 6 6 36 6x y xy x y= + + + − =
 2p
( ) ( ) ( )( )6 6 6 6 6 6 6x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( ) ( ) ( )5 6 5 6 6x x x− = + ⋅ − + − =
 2p
( ) ( ) ( ) ( )5 5 6 6 6 5x x x x− = − + ⋅ + − = = −
 
 , pentru orice număr real x 3p
c) ( )( ) ( )( )6 2017 6 6 2017 6 6 6 6x + − + − = + − + − 2p
6 0 6x x+ = ⇔ = − 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
2 ' '
' lnf x x
x
 
= + = 
  2p
2 2
2 1 2x
xx x
−
= − + = , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) ( )1 2f = , ( )' 1 1f = − 2p
Ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 3y x= − + 3p
c) ( ) 0 2f x x′ = ⇔ = 1p
( ] ( )0, 2 0x f x′∈ ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]0, 2 1p
[ ) ( )2, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [ )2, +∞ 1p
( ) ( )2f x f≥ pentru orice ( )0,x ∈ +∞ și, cum ( )2 1 ln 2f = + , obținem 2 ln 1 ln 2x
x + ≥ + ,
pentru orice ( )0,x ∈ +∞
2p
2.a)
( ) ( )
2 2 22 3
2
1 1 1
22
2 2 2 2
2 3 1
x x
x f x dx x dx x dx x
x
 +
= ⋅ = + = + =  
 
∫ ∫ ∫ 3p
8 1 13
4 2
3 3 3
   
= + − + =   
    2p
b)
( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) 2
ln
4
x
F x x c= + + , unde c ∈ ℝ 3p
( ) 3
1 1 4
F c= ⇒ = , deci ( ) 2 3
ln
4 4
x
F x x= + + 2p
c)
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2
1 1
'2 ' 2 2 2
1 1
n n n n
f x x f x dx x f x dx x f x x+ = = = + =∫ ∫ 3p
( ) ( )2 2
2 1 2 1n n= + − + = − , pentru orice număr natural n , 2n ≥ 2p