Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2017 – 28 iunie 2017, varianta 9, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 5 2z i= + și 2 3 3z i= − . Arătați că 1 23 2 21z z+ = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 2 2g x x x= − + . Determinați
abscisa punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 3
3 3 3x x+ = ⋅ .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie divizibil cu 3 și cu 5.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0, 2A , ( )2, 4B și ( ),0C m , unde m este număr
real. Determinați numărul real m , știind că punctele A , B și C sunt coliniare.
5p 6. Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC , ştiind că 4AB = , 8AC = și 3
A
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
( )
2 0 1
0 1 0
2 1 0 2 1
x x
A x
x x
− − 
 
=  
 − − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 2A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( )( )det 0A x A x− ≤ , pentru orice număr real x .
5p c) Arătați că, dacă numerele naturale m și n verifică relația ( ) ( ) ( )2A m A n A= , atunci 3m n+ = .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 1f X X aX= + + + , unde a este număr real.
5p a) Determinați numărul real a , știind că ( )1 0f = .
5p b) Pentru 2a = , calculați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 1X X+ + .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care rădăcinile polinomului f au modulele egale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )1 ln 2x
f x e x= − − + .
5p a) Arătați că ( ) 1
' 2
x
f x e x
= − + , ( )2,x ∈ − +∞ .
5p b) Demonstrați că funcția f este convexă pe ( )2,− +∞ .
5p c) Calculați ( )lim
x
f x
x→+∞
.
2. Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul
1
ln
e n
nI x x dx= ∫ .
5p a) Arătaţi că
2
1
1
2
e e
x dx −
=∫ .
5p b) Demonstraţi că 1n nI I+ ≤ , pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Demonstraţi că ( ) 2
12 1n nI n I e+ + + = , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 23 2 3 5 2 2 3 3 15 6 6 6z z i i i i+ = + + − = + + − = 3p
15 6 21= + = 2p
2. 2 2
1 2 2 1 0x x x x x+ = − + ⇔ − + = 2p
1x = 3p
3. 2 3 1 3 2 2
3 3 3 1 3 3 2 0x x x x x x+ +
= ⇔ + = + ⇔ − + = 3p
1x = sau 2x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
Mulțimea numerelor naturale de două cifre, care sunt divizibile cu 3 și cu 5 , are 6
elemente, deci sunt 6 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 6 1
nr. cazuri posibile 90 15
p = = = 1p
5. Ecuația dreptei AB este 2y x= + 2p
Punctul C aparține dreptei 2AB m⇔ = − 3p
6. 2 2 2 1
2 cos 16 64 2 4 8 48
2
BC AB AC AB AC A= + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = 3p
4 3BC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 det 2 0 1 0
2 0 3 2 0 3
A A
 
 
= ⇒ = = 
 − − 
3p
( )0 0 0 2 0 0 2= + + − − − − = 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 0 1 2 0 1
0 1 0 det 0 1 0
2 2 0 2 1 2 2 0 2 1
x x x x
A x A x A x A x
x x x x
 + − − + − −
 
− = ⇒ − = = 
 
+ − − + − − 
3p
( )( ) ( )( )2 2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 0x x x x x= + − − − − − + = − ≤ , pentru orice număr real x 2p
c)
( ) ( )
( )
( )
2 0 1
0 1 0
2 1 0 2 1
mn mn
A m A n A mn
mn mn
− − 
 
= = 
 − − 
3p
( ) ( )2A mn A= , deci 2mn = și, cum m și n sunt numere naturale, obținem 3m n+ = 2p
2.a) ( ) 3 2
1 0 1 2 1 1 1 0f a= ⇔ + ⋅ + ⋅ + = 2p
4a = − 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 3 2
2 2 1f X X X= + + + și câtul este 1X + 3p
Restul este 0 2p
c) 1 2 3 1x x x = − și 1 2 3 1 2 3 1x x x x x x= = ⇒ = = = 2p
Cum f are cel puțin o rădăcină reală, una dintre rădăcini este egală cu 1− sau cu 1 1p
Dacă 1 1x = − , obținem ( )1 0f − = , deci 2a = , ceea ce convine, deoarece 2 3 1x x= = 1p
Dacă 1 1x = , obținem ( )1 0f = , deci 4a = − , ceea ce nu convine, deoarece 2 3x x≠ 1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )( )' ' '' 1 ln 2x
f x e x= − − + = 2p
( )'2 1
0 2 2
x xx
e e
x x
+
= − − = −
+ + , ( )2,x ∈ − +∞ 3p
b) ( ) ( )2
1
"
2
x
f x e
x
= +
+
, ( )2,x ∈ − +∞ 2p
( )" 0f x ≥ , deci funcția f este convexă pe ( )2,− +∞ 3p
c) 1
lim lim
x x
x x
e e
x→+∞ →+∞
− = = +∞ 2p
( )ln 2 1
lim lim 0
2x x
x
x x→+∞ →+∞
+ = =
+ 2p
( ) ( )ln 21
lim lim
x
x x
f x xe
x x x→+∞ →+∞
 +−
= − = +∞  
 
1p
2.a) 2
1 2 1
e ex
x dx = =∫ 3p
2 2
1 1
2 2 2
e e −
= − = 2p
b) [ ]1, 0 ln 1 ln 1 0x e x x∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ − ≤ 2p
( )1
1
ln ln 1 0
e n
n nI I x x x dx+ − = − ≤∫ , deci 1n nI I+ ≤ , pentru orice număr natural nenul n 3p
c) 2
1 1
1
1 1
1
ln ln ln
2 21
e e
n n n
n
ex n
I x x dx x x x dx+ +
+
+
= = − =∫ ∫ 3p
2 1
2 2 n
e n I
+
= − , deci ( ) 2
12 1n nI n I e+ + + = , pentru orice număr natural nenul n 2p