Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2017 – sesiunea specială, varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați suma numerelor întregi din intervalul ( )5, 5− .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − . Calculați ( )( )1f f .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 3x x+ = − .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, , 100A = … , acesta să fie
multiplu de 11.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 2M și ( )4,2N . Determinați coordonatele
punctului P , situat pe axa Ox , astfel încât PM PN= .
5p 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC , în care 6 2AB = şi 4
C
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1 1
1 2 4
1 2
x x
A x
x x
 
 
=  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătaţi că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Demonstrați că ( )( ) ( )( )det 2 1 2 2x x x
A x x x= − + − ⋅ , pentru orice număr real x .
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2017 2017
2017 2017 2017
4
1 2 3 2017 2017 2 2 1 4 1
3
2017 2017 1009 2017 2018
A A A A
 
 
 + + + + = − −
 
 ⋅ ⋅ 
… .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 7 7 7 6x y xy x y∗ = + + + .
5p a) Arătați că ( )( )7 1 1 1x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care x x x x∗ ∗ = .
5p c) Demonstrați că, dacă a , b și c sunt numere naturale astfel încât 48a b c∗ ∗ = , atunci numerele
a , b și c sunt egale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3
x
x
f x e
−
= .
5p a) Arătați că ( ) 2 2 3
' x
x x
f x e
− + +
= , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = − , situat pe
graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) 3
6
2e f x e
− ≤ ≤ , pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( )2
1
x
f x
x
=
+
.
5p a) Arătați că ( )
2
1
1 3
ln 2
x f x dx
x
+ =∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcţiei f este strict crescătoare pe intervalul ( )0,+∞ .
5p c) Determinați numărul real m , 0m > , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției
( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( ) ( )1g x x x f x= + , axa Ox și dreptele de ecuații 1x = și 2x = are aria egală
cu 1
1 ln m
m
+
− .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 1 0 1 2 3 4− + − + − + − + + + + + = 3p
0= 2p
2. ( )1 0f = 2p
( )( ) ( )( ) ( )1 1 0 1f f f f f= = = −
 3p
3. 2 2
3 6 9 7 6 0x x x x x+ = − + ⇒ − + = 3p
1x = care nu convine, 6x = care convine 2p
4. În mulțimea A sunt 100 de numere, deci sunt 100 de cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 9 numere care sunt multipli de 11 , deci sunt 9 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 9
nr. cazuri posibile 100
p = = 1p
5. 0PP Ox y∈ ⇒ = 2p
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2 0 4 2 0 3P P PPM PN x x x= ⇔ − + − = − + − ⇔ = 3p
6. 6 2
2
sin 2
2 2
AB R R
C = ⇒ = =
⋅ 3p
6= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 1 1 1 1
1 1 2 4 det 1 1 2 4
1 1 2 1 1 2
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
4 1 4 2 4 2 1= + + − − − = 3p
b)
( )( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1 2 1
det 1 2 4 0 2 1 4 1 2 1 1 2 1
1 2 0 1 2 1
x
x x x x x
A x x x
x x x x
+
= = − − = − =
− −
− −
3p
( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2x x x x x x
x x x x x= − − − ⋅ + − + = − + − ⋅ , pentru orice număr real x 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2017 1 2 2017
2017 2017 2017
1 2 3 2017 2017 2 2 2 4 4 4
2017 2017 1009 2017 2018
A A A A
 
 
+ + + + = + + + + + + = 
 ⋅ ⋅
 
… … … 3p
( ) ( ) ( ) ( )
2017 2017
2017 2017
2017 2017 2017 2017 2017 2017
2 2 1 4 4 1 4
2017 2017 2 2 1 4 1
2 1 4 1 3
2017 2017 1009 2017 2018 2017 2017 1009 2017 2018
      − −   = = − −   − −    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  
 
2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 7 7 7 7 1x y xy x y∗ = + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )7 1 7 1 1 7 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( )32
7 1 1x x x x∗ ∗ = + − , deci ( )32
7 1 1x x+ − = 2p
( ) ( )( )22 8
1 7 1 1 0 7
x x x+ + − = ⇔ = − sau 1x = − sau 6
7
x = − 3p
c) ( )( )( ) ( )( )( )49 1 1 1 1 48 1 1 1 1a b c a b c+ + + − = ⇔ + + + = 2p
Cum a , b și c sunt numere naturale, obținem 1 1 1 1a b c+ = + = + = , deci a b c= = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
' '3 3 2 3x x x x
x x
x e x e xe x e
f x
e e
− ⋅ − − ⋅ − −
′ = = = 3p
( )
( )
2 2
2
2 3 2 3
x
xx
e x x x x
ee
− + − + +
= = , x ∈ ℝ 2p
b) ( )1 2f e− = − , ( )' 1 0f − = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− − = − + , adică 2y e= − 3p
c) ( ) 0 1f x x′ = ⇔ = − sau 3x = 1p
[ ] ( )1,3 ' 0x f x∈ − ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [ ]1,3− și [ ) ( )3, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≤ , deci
f este descrescătoare pe [ )3, +∞ 2p
Cum ( )1 2f e− = − , ( ) 3
6
3f e
= , ( )lim 0
x
f x
→+∞
= , obținem ( ) 3
6
2e f x e
− ≤ ≤ , pentru orice
[ )1,x ∈ − +∞
2p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1
1 1 1
11
x x x
f x dx dx dx
xx x x
+ +
= ⋅ = =
++
∫ ∫ ∫ 2p
( ) 2 3
ln 1 ln 3 ln 2 ln 21
x= + = − = 3p
b) F este o primitivă a funcţiei ( ) ( )f F x f x′⇒ = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
( ) ( )2 0
1
x
F x
x
′ = >
+
, pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci F este strict crescătoare pe ( )0,+∞ 3p
c)
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2 2 3
ln 1 1 ln
1 1 21 1
x x
g x g x dx dx x x
x x
= ⇒ = = = − + = −
+ +∫ ∫
A 3p
1 3
1 ln 1 ln 2
2
m m
m
+
− = − ⇒ = 2p