Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2017 – sesiunea iunie–iulie, 28 iunie 2017, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 2z i= + . Arătați că 9z z zz+ + = , unde z este conjugatul lui z .
5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul ( )1,A m aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2 2 3f x x x= + − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )( )2 21 log 2 log 0x x− − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,1A , ( )3,3B și ( )0, 2C . Determinaţi lungimea
medianei din C a triunghiului ABC .
5p 6. Arătați că ( ) ( )2 2 2 2
1 tg cos 1 ctg sin 0x x x x+ − + = , pentru orice 0, 2
x
π 
∈ 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1 2
1 2
2 1 3
A a a
 
 
=  
 − − 
și sistemul de ecuații
2 0
2 0
2 3 0
x y z
x y az
x y z
+ + =
 + + =
− − + =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 9 0A = .
5p b) Determinați valorile reale ale lui a pentru care sistemul are soluție unică.
5p c) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția ( )0 0 0, ,x y z , cu 0x , 0y și 0z numere reale nenule, atunci
( )0 0 0 0 0 011x y z x y z− + + = + + .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 7 7 42x y xy x y= + + + .
5p a) Arătați că ( )( )7 7 7x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați numerele reale x , știind că x x x= .
5p c) Determinați numărul real a , știind că ( )2017 6 1a − = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) ln
1
xf x x
= − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )2
1 ln' 1
x x xf x x x
− += −
, ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ln 1x x x> − , pentru orice ( )1,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
3x
f x e x= + .
5p a) Arătați că ( )( )
1 2
0
3 1f x x dx e− = −∫ .
5p b) Arătaţi că ( )
1
0
7
4
x f x dx =∫ .
5p c) Determinați numărul natural nenul n , pentru care suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei
:g →ℝ ℝ , ( ) ( ) x
g x f x e= − , axa Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = și x n= are aria egală cu
2 1n n− + .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( )2 2 2 2z z zz i i i i+ + = + + − + + − = 3p
2
4 4 9i= + − = 2p
2. ( )1 1 2 3f m m= ⇒ + − = 3p
0m = 2p
3. 21 log 0x− = sau 22 log 0x− = 3p
2x = sau 4x = , care convin 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
Mulțimea numerelor naturale de două cifre, care au cifra zecilor strict mai mică decât cifra
unităților are 36 de elemente, deci sunt 36 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 36 2
nr. cazuri posibile 90 5
p = = = 1p
5. ( )3, 2M , unde punctul M este mijlocul segmentului AB 3p
3CM = 2p
6.
( ) ( ) 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
sin cos
1 tg cos 1 ctg sin 1 cos 1 sin
cos sin
x x
x x x x x x
x x
   
+ − + = + − + =      
   
3p
( )2 2 2 2
cos sin sin cos 0x x x x= + − + = , pentru orice 0, 2
x
π 
∈ 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 2 1 1 2
9 1 2 9 det 9 1 2 9
2 1 3 2 1 3
A A
 
 
= ⇒ = = 
 − − − − 
2p
( ) ( ) ( ) ( )6 2 18 8 9 3 0= + − + − − − − − − = 3p
b)
( )( )
1 1 2
det 1 2 9
2 1 3
A a a a= = −
− −
3p
Sistemul are soluție unică ( )( )det 0A a⇔ ≠ , deci { }\ 9a ∈ ℝ 2p
c) Sistemul are soluția ( )0 0 0, ,x y z , cu 0x , 0y și 0z numere reale nenule, deci 9a = și soluția
sistemului este de forma ( )5 , 7 ,
α α α− ,
α ∈ ℝ 3p
( ) ( )( ) ( )0 0 0 0 0 05 7 11 11 5 7 11x y z x y z
α α α α α α α− + + = − + − + = − = + − + = + + 2p
2.a) 7 7 49 7x y xy x y= + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )7 7 7 7 7 7 7x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( )2
7 7x x x= + − , deci ( )2
7 7x x+ − = 2p
( )( )7 6 0 7x x x+ + = ⇔ = − sau 6x = − 3p
c) ( )( )2017 7 6 7 7 1 2017 7 7 1a a
+ − + − = ⇔ + − = 3p
2017 1 0a a= ⇔ = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )2
1 1 ln 1
'
1
x x
xf x
x
⋅ − − ⋅ −
= =
−
3p
( ) ( )2 2
1 ln 1 ln
1 1
x x x x xx
x x x
− + − +
= =
− −
, ( )1,x ∈ +∞ 2p
b)
( )
1
ln
lim lim lim 0
1 1x x x
x xf x x→ +∞ → +∞ → +∞
= = =
− −
3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( ): 1,g +∞ → ℝ , ( ) ( )ln 1 ' lng x x x x g x x= − + ⇒ = , deci ( )' 0g x > pentru orice ( )1,x ∈ +∞ 3p
Funcția g este strict crescătoare pe ( )1, +∞ și, cum ( )
1
lim 0
x
g x
→
= , obținem ( ) 0g x > , deci
ln 1x x x> − , pentru orice ( )1,x ∈ +∞
2p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
2 2 2
0 0 0
3 3 3x x
f x x dx e x x dx e dx− = + − = =∫ ∫ ∫ 2p
1
1
0
x
e e= = − 3p
b)
( ) ( ) ( )
1 1 4
3
0 0
1 13
3 1 40 0
x x x
x f x dx xe x dx x e= + = − + =∫ ∫ 3p
0 3 7
1 4 4
e= ⋅ + = 2p
c)
( ) ( )2 2 3 3
0 0
3 3 0
n n n
g x x g x dx x dx x n= ⇒ = = = =∫ ∫
A 3p
( )( )3 2 2
1 1 1 0 1n n n n n n= − + ⇔ − + = ⇔ = 2p