Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2017 – sesiunea august–septembrie, varianta 7, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )2 2
5 4 5 4 18i i− + + = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 6 8f x x x= − + . Determinați abscisele punctelor de intersecție
a graficului funcției f cu axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2 2x x x− − = − .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 9 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A și ( )2,3B . Determinaţi coordonatele
punctului M , știind că punctul B este mijlocul segmentului AM .
5p 6. Calculați aria paralelogramului ABCD , știind că 6AB = , 3BC = şi ( ) 30m ABC = °∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
și ( )
0 0
0 0
0 0
x
A x x
x
 
 
=  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) 3A x A y A z xyz I= , pentru orice numere reale x , y și z .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n , numărul ( ) ( ) ( )( )3det A n A n A n I+ + este
pătratul unui număr natural.
2. Se consideră polinomul 4 2 4f X aX= + + , unde a este număr real.
5p a) Determinați numărul real a , știind că ( )2 0f = .
5p b) Pentru 5a = − , determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 2X X+ − .
5p c) Determinați rădăcinile polinomului f , știind că ( ) 0f i = , unde 2 1i = − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2
ln 1f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( ) 2
1
1
f x
x
′ =
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f , în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Calculați ( )lim
x
f x
→ −∞
.
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 1
1 1x
f x e
= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1
0
1 1x
e f x dx e+ = −∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătaţi că ( ) ( )( )
1
1
0x f x f x dx
−
+ − =∫ .
5p c) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii
0x = și 1x = are aria mai mică decât ln 2 .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2
25 40 16 25 40 16i i i i− + + + + = 3p
2
50 32 50 32 18i= + = − = 2p
2. ( ) 2
0 6 8 0f x x x= ⇔ − + = 3p
2x = și 4x = 2p
3. ( )22 2 2
2 2 2 4 4 3 6x x x x x x x x− − = − ⇒ − − = − + ⇒ = 3p
2x = , care convine 2p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
Numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor egal cu 9 sunt 19 , 33 și 91 , deci
sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 90 30
p = = = 1p
5. 2
2
A M
B M
x x
x x
+
= ⇒ = 3p
5
2
A M
B M
y y
y y
+
= ⇒ = 2p
6. ( )sin 6 3 sin 30ABCD AB BC ABC= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ° =∢
A 3p
1
18 9
2
= ⋅ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 det 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
0 1 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x y z xy z
A x A y A z x y z xy z
x y z xy z
      
      
= = =      
      
      
3p
3
0 0
0 0
0 0
xyz
xyz xyz I
xyz
 
 
= = 
 
 
, pentru orice numere reale x , y și z 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c)
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
3
2 2
0 0 10 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 10 0 1
n n nn
A n A n A n I n n n n
nn n n
   
      
      + + = + + =         
      
   
2p
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
22 6 3 3
3
2
1
det 1 2 1 1
1
n n
A n A n A n I n n n n n
n n
+ + = = − + = − , care este pătratul
unui număr natural
3p
2.a) ( ) 4 2
2 0 2 2 4 0f a= ⇔ + ⋅ + = 3p
4 20 0 5a a+ = ⇔ = − 2p
b) 4 2
5 4f X X= − + ; câtul este 2 2X X− − 3p
Restul este 0 2p
c) 1 4 0 5a a− + = ⇒ = 2p
( )( )2 2
1 4f X X= + + , de unde obținem 1x i= , 2x i= − , 3 2x i= și 4 2x i= − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 2 2
1 1
1 1
x
f x
x x x
 
′ = ⋅ + = 
 
+ + + 
3p
2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
x x
x x x x
+ +
= ⋅ =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 0f = , ( )' 0 1f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică y x= 3p
c)
( ) 2 2
2
2 2
1 1
lim 1 lim lim 0
1 1x x x
x x
x x
x x x x→ −∞ → −∞ → −∞
+ −
+ + = = =
+ − + −
3p
( ) ( )2
lim lim ln 1
x x
f x x x
→ −∞ → −∞
= + + = −∞ 2p
2.a)
( ) ( )
1 1
0 0
1
1 0
x x x
e f x dx e dx e+ = = =∫ ∫ 3p
1 0 1e e e= − = − 2p
b)
( ) ( )( )
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1x x
x f x f x dx x dx
e e−
− −
 
+ − = − + − = 
+ + 
∫ ∫ 2p
1 1 2
1 1
11
2 0
21 1
x
x
e x
x dx x dx
e− −
 +
= − = = =  + − 
∫ ∫ 3p
c)
( ) ( )
1 1 1
0 0 0
11 1
1 ln 1 ln 21 1 0
x x
x x
e e
f x dx dx dx e
e e
+ 
= = − = = + = 
+ + 
∫ ∫ ∫
A 3p
Cum 1
3 2
2
e
e +
< ⇒ < , obținem ln 2<
A 2p