Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2017 – sesiunea august–septembrie, 23 august 2017, varianta 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 2 3z i= + și 2 1 2z i= + . Arătați că 1 22 3 1z z− = .
5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 3 2 0x mx− + = , unde m este număr real. Determinați
numărul real m , știind că 1 2 1 2 1 0x x x x+ + + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )4 4log 3 log 3 2x x+ + − = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 6 .
5p 5. Determinați numărul real a , pentru care vectorii 2u ai j= +

 

 și 3 3v i j= −

 

 sunt coliniari.
5p 6. Arătați că ( )2
sin cos sin 2 1x x x− + = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1
1 1 1
1 1
x
A x x
x
 
 
= + 
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = − .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( )( ) ( )( )det det 1 12A x A x⋅ + = .
5p c) Determinați matricea ( )3X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( )2 0A X A⋅ = .
2. Se consideră polinomul ( ) ( )3 2 2
2 2 1f X m X m X= − + + + − , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )0 1f = − , pentru orice număr real m .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2
1 2 2 3 3 1 4 1x x x x x x m− + − + − = − − , pentru orice număr real m , unde
1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinați numărul real m pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 2 2x
f x e x x= − − − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )' 2 1x
f x e x= − − , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcției f , în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Demonstrați că funcția f este crescătoare pe ℝ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 n
f x x= + , unde n este număr natural nenul.
5p a) Arătați că ( )
1 2
2
2 9x dx
−
+ =∫ .
5p b) Pentru 1n = , arătați că ( )
1
0
2 1x
f x e dx e= −∫ .
5p c) Determinaţi numărul natural nenul n pentru care suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f ,
axa Ox şi dreptele de ecuaţii 1x = − și 1x = are aria egală cu 242
1n + .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 22 3 2 2 3 3 1 2z z i i− = + − + = 2p
4 6 3 6 1i i= + − − = 3p
2. 1 2 3x x m+ = , 1 2 1 2 1 22 1 3 3x x x x x x m= ⇒ + + + = + 3p
3 3 0 1m m+ = ⇔ = − 2p
3. ( )( )( ) 2 2 2
4log 3 3 2 9 4 25 0x x x x+ − = ⇒ − = ⇒ − = 3p
5x = − , care nu convine, 5x = , care convine 2p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
Numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor egal cu 6 sunt 16 , 23, 32 și 61 ,
deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4 2
nr. cazuri posibile 90 45
p = = = 1p
5. 2
3 3
a = − 3p
2a = − 2p
6. ( )2 2 2
sin cos sin 2 sin 2sin cos cos 2sin cosx x x x x x x x x− + = − + + = 3p
2 2
sin cos 1x x= + = , pentru orice număr real x 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 det 0 1 1 1
1 0 1 1 0 1
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
0 0 1 1 0 1 1= + + − − − = − 3p
b)
( )( )
1 1
det 1 1 1 1
1 1
x
A x x x
x
= + = − , ( )( ) ( )det 1 1 12A x x x x+ = ⇒ − = 3p
3x = − sau 4x = 2p
c)
( )
2 1 1
2 3 1 1
1 2 1
A
 
 
=  
 
 
, ( )( )det 2 1 0A = ≠ , ( )( ) 1
1 1 0
2 2 1 1
5 3 1
A −
− 
 
= − 
 − − 
3p
( )( ) ( )
1
1 0 0
2 0 2 1 0
4 2 1
X A A X
−
 
 
= ⋅ ⇒ = − 
 − 
2p
2.a) ( ) ( ) ( )3 2 2
0 0 2 0 2 0 1f m m= − + ⋅ + + ⋅ − = 2p
0 0 0 1 1= − + − = − , pentru orice număr real m 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 1 2 3 2x x x m+ + = + , 2 2 2 2 2
1 2 1 3 2 3 1 2 32 4x x x x x x m x x x m m+ + = + ⇒ + + = − + 3p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 1 3 2 32 2x x x x x x x x x x x x x x x− + − + − = + + − + + =
( ) ( )22 2
2 4 2 4 1m m m m= − + − − = − − , pentru orice număr real m
2p
c) ( ) ( ) ( )2 22
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1, , , , 0x x x x x x x x x x x x x x x∈ ⇒ − − − ∈ ⇒ − + − + − ≥ℝ ℝ , deci
( )2
1 0m − ≤
2p
1m = , caz în care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2' ' ' '2 2 2x
f x e x x′ = − − − = 2p
( )2 2 2 2 1x x
e x e x= − − = − − , x ∈ ℝ 3p
b) ( )0 0f = , ( )' 0 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 0y = 3p
c) ( ) ( )'' 2 1x
f x e= − , x ∈ ℝ 1p
( ] ( ),0 '' 0x f x∈ −∞ ⇒ ≤ , deci f ′ este descrescătoare pe ( ],0−∞ 1p
[ ) ( )0, '' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≥ , deci f ′ este crescătoare pe [ )0,+∞ 1p
( ) ( )' ' 0f x f≥ și ( )' 0 0f = implică ( )' 0f x ≥ pentru orice număr real x , deci funcția f
este crescătoare pe ℝ
2p
2.a)
( ) ( )31 2
2
12
2 3 2
x
x dx
−
+
+ = =
−
∫ 3p
3
3 0 9
3
= − = 2p
b)
( ) ( )
1 1
0 0
1 1
2 2 3 2
0 0
x x x x
x e dx x e e dx e e+ = + − = − − =∫ ∫ 3p
3 2 1 2 1e e e= − − + = − 2p
c)
( ) ( ) ( ) 11 1 1
1 1
12 3 1
2 1 11
n n
n x
f x dx x dx n n
+ +
− −
+ −
= = + = =
+ +−
∫ ∫
A 3p
1 1 1 53 1 242 3 243 3 3 4
1 1
n n n n
n n
+ + +− = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ + 2p