Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2017 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi rația progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 2 3 4 14a a a a+ + + = și 1 2a = .
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 5 4f x x x= − + . Determinaţi distanța dintre punctele de
intersecție a graficului funcției f cu axa Ox .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1
2 2 2 7x x x+ +
+ + = .
5p 4. După două creșteri succesive cu câte 10% , un produs costă 242 de lei. Calculați prețul produsului
înainte de cele două scumpiri.
5p 5. Determinați numărul real m pentru care vectorii 1 6v mi j= +
   şi 2 2 3v i j= +
   sunt coliniari.
5p 6. Calculați aria dreptunghiului ABCD , știind că 3AB = și 5AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y x y xy∗ = + − .
5p 1. Calculaţi ( )1 1− ∗ .
5p 2. Verificați dacă legea de compoziţie „ ”∗ este comutativă.
5p 3. Arătați că ( )( )1 1 1x y x y∗ = − − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 4. Determinați numerele reale x , pentru care 0x x∗ = .
5p 5. Determinați numărul real a , pentru care 1a a∗ ≥ .
5p 6. Calculați 1 2 3 2017
2016 2016 2016 2016
∗ ∗ ∗ ∗… .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricea ( ) 1
0 1
n
A n  
=  
 
, unde n este număr întreg.
5p 1. Calculați ( )( )det 2017A .
5p 2. Arătaţi că ( ) ( ) 22017 2017 2A A I− + = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p 3. Arătați că ( ) ( ) ( )A m A n A m n⋅ = + , pentru orice numere întregi m și n .
5p 4. Se consideră matricea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 4 5 6B A A A A A A A= + + + + + + . Arătați că suma
elementelor matricei B este divizibilă cu 7.
5p 5. Arătați că matricea ( )A n este inversabilă pentru orice număr întreg n .
5p 6. Determinați matricea ( )2X ∈ ℤ
M pentru care ( ) ( )2017 2018A X A⋅ = .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 3 14 4 6 14a a r a r a r a r+ + + + + + = ⇔ + = 3p
1r = 2p
2. ( ) 2
0 5 4 0f x x x= ⇔ − + = 2p
1x = sau 4x = , deci distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox
este egală cu 3 3p
3. ( )2 1
2 2 2 1 7 2 1x x
+ + = ⇔ = 3p
0x = 2p
4. 10 10 10 242
100 100 100
p p p p
   
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ =   
    , unde p este prețul produsului înainte de cele două
scumpiri
3p
200p = de lei 2p
5. 6
2 3
m = 3p
4m = 2p
6. 2 2
5 3 4BC = − = 3p
3 4 12ABCD = ⋅ =
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 1 1 1 1 1− ∗ = − + − − ⋅ = 3p
1= 2p
2. x y x y xy y x yx∗ = + − = + − = 3p
y x= ∗ , pentru orice numere reale x și y , deci legea „ ”∗ este comutativă 2p
3. 1 1x y xy x y∗ = − + + − + = 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= − − + − + = − − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
4. ( )( ) ( )2
1 1 1 0 1 1x x x− − − + = ⇔ − = 3p
0x = sau 2x = 2p
5. ( )( ) ( )2
1 1 1 1 1 0a a a− − − + ≥ ⇔ − ≤ 3p
1a = 2p
6. 1 1 1x y∗ = ∗ = , pentru x și y numere reale 2p
1 2 3 2015 2016 2017 2017
1 1
2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016
  
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ =  
  
… 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
1 2017 1 2017
2017 det 2017
0 1 0 1
A A
 
= ⇒ = = 
  2p
1= 3p
2. ( ) ( ) 1 2017 1 2017 2 0
2017 2017 0 1 0 1 0 2
A A −     
− + = + = =     
      3p
2
1 0
2 2
0 1 I
 
= = 
  2p
3. ( ) ( ) 1 1 1
0 1 0 1 0 1
m n n m
A m A n +    
⋅ = = =    
     3p
( )
1
0 1
m n A m n
+ 
= = + 
 
, pentru orice numere întregi m și n 2p
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 0 1 2 6 7 21
0 1 2 3 4 5 6 0 7 0 7
B A A A A A A A + + + +   
= + + + + + + = =   
   
… 3p
Suma elementelor matricei B este egală cu 35, care este un număr divizibil cu 7 2p
5. ( )( ) 1
det 1
0 1
n
A n = = 2p
( )( )det 0A n ≠ , deci ( )A n este inversabilă pentru orice număr întreg n 3p
6. Cum ( ) ( ) ( ) 22017 2017 0A A A I⋅ − = = , obținem ( )( ) ( )
1
2017 2017A A
− = − 2p
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2017 2018 2017 2018 1 0 1
X A A X A A X A X
−  
= ⋅ ⇔ = − ⋅ ⇔ = ⇔ =  
  3p