Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2017 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )
2 2
2 3 1 2 3 20+ + − = .
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x x= − . Calculați ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f f f f⋅ ⋅ ⋅ .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1
8 4x x+
= .
5p 4. După o scumpire cu 25% , prețul unui obiect este 250 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de
scumpire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,5A , ( )1,1B şi ( )5,5C . Arătați că triunghiul
ABC este isoscel.
5p 6. Arătați că sin 60 tg 45 cos30 ctg45° + ° = ° + ° .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2x
A x x x
 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 3 3A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2017 2017 2 2017A x A x A+ + − = , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numerele reale m pentru care ( ) ( )( )det 2 1 0A mA+ = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 2 6 6 15x y xy x y∗ = + + + .
5p a) Arătaţi că ( )( )2 3 3 3x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x şi y .
5p b) Arătați că 7 98 2017∗ = .
5p c) Determinați numerele reale x , pentru care ( )2 3x x∗ + = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f +∞ → ℝ , ( ) 1
1 2
f x x x
= + + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )
3
3
lim 0
3x
f x f
x→
− =
− .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstraţi că funcția f este convexă pe intervalul ( )2, +∞ .
2. Se consideră funcţiile ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1 lnf x x= + și ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) lnF x x x= .
5p a) Calculaţi ( )( )
1
ln
e
f x x dx−∫ .
5p b) Arătaţi că F este o primitivă a funcției f .
5p c) Arătați că ( ) ( ) 2
1 2
e e
f x F x dx =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2
2 3 7 4 3+ = + 2p
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 13 4 3 2 3 1 2 3 7 4 3 13 4 3 20− = − ⇒ + + − = + + − = 3p
2. ( )3 0f = 3p
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f f⋅ ⋅ ⋅ = 2p
3. 3 4 2
2 2 3 4 2x x x x+
= ⇔ = + 3p
2x = − 2p
4. 25 250
100
p p+ ⋅ = , unde p este prețul obiectului înainte de scumpire 2p
200p = de lei 3p
5. 4AB = 2p
4AC AB AC= ⇒ = , deci triunghiul ABC este isoscel 3p
6. sin 60 cos30° = ° 2p
tg 45 ctg45 sin 60 tg 45 cos30 ctg45° = ° ⇒ ° + ° = ° + ° 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
3 2 3 2
3 det 3 3 3 3 2
3 3 3 3
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
9 6 3= − = 2p
b) ( ) ( ) 2017 2 2017 2 4034 4
2017 2017 2017 2017 2017 2017 4034 4034
x x
A x A x x x x x
+ −     
+ + − = + = =     
+ + − −      3p
( )
2017 2
2 2 2017
2017 2017 A
 
= = 
 
, pentru orice număr real x 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 1 det 2 1 2
2 2 2 2
m m m m
A mA A mA m m
m m m m
+ +     
+ = + = ⇒ + = − +     
+ +      3p
( )2 0 2m m m+ = ⇔ = − sau 0m = 2p
2.a) 2 6 6 18 3x y xy x y∗ = + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )2 3 6 3 3 2 3 3 3x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x şi y 3p
b) ( )( )7 98 2 7 3 98 3 3 2 10 101 3∗ = + + − = ⋅ ⋅ − = 3p
2020 3 2017= − = 2p
c) ( )( ) 2
2 3 2 3 3 3 8 12 0x x x x+ + + − = ⇔ + + = 3p
6x = − sau 2x = − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
3
3
lim ' 3
3x
f x f f
x→
− =
− 2p
( ) ( )2
1
' 1
2
f x
x
= −
−
, ( ) ( )2, ' 3 0x f∈ +∞ ⇒ = , deci ( ) ( )
3
3
lim 0
3x
f x f
x→
− =
− 3p
b) ( )
( )
1 1
lim lim 1 1
2x x
f x
x x x x→+∞ →+∞
 
= + + =  −  2p
( )( ) 1
lim lim 1 1
2x x
f x x x→+∞ →+∞
 
− = + = 
−  , deci dreapta de ecuație 1y x= + este asimptotă
oblică spre +∞ la graficul funcției f
3p
c) ( ) ( )3
2
''
2
f x
x
=
−
, ( )2,x ∈ +∞ 3p
( )'' 0f x > , pentru orice ( )2,x ∈ +∞ , deci funcția f este convexă pe intervalul ( )2, +∞ 2p
2.a)
( )( )
1 1
ln 1
1
e e e
f x x dx dx x− = = =∫ ∫ 3p
1e= − 2p
b) F este derivabilă și ( ) ( ) 1'' ln lnF x x x x x x
= = + ⋅ = 3p
( )ln 1x f x= + = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci F este o primitivă a funcției f 2p
c)
( ) ( ) ( )2
1
1
2 1
e e
f x F x dx F x= =∫ 3p
( ) ( ) 2
2 21 1 1
2 2 2
e
F e F= − = 2p