Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2017 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați rația progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 3 6a a= − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x m= + , unde m este număr real. Determinați numărul real
m pentru care punctul ( )1,3A este situat pe graficul funcției f .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2
3 3 10x x+
+ = .
5p 4. După o ieftinire cu 15% , prețul unui stilou este de 17 lei. Calculați prețul stiloului înainte de
ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație 3y x= − + . Determinați numărul real
a , știind că dreapta 'd de ecuație 5y ax= − este perpendiculară pe dreapta d .
5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC , știind că ( ) 90m A = °∢ , 3
tg 4
B = şi 15AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( )
3 1 2
1 2
1 3 2
D a a a= + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )0 12D = − .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care ( ) 2
D a a= .
5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,1A , ( )1,B n n+ , unde n este număr natural și
( )1,3C . Determinați numerele naturale n , știind că punctele A , B și C sunt vârfurile unui triunghi
care are aria egală cu 1.
2. Se consideră matricea ( ) 1
2 3
x
A x x
− 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )0 2 2 1A A A+ = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) 21 3 1A A x A O⋅ + = , pentru orice număr real x , unde 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p c) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea ( )2 1B I aA= + este inversabilă, unde
2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
5
2
x
f x x x
+
= + + .
5p a) Arătați că ( )
1
lim 2
x
f x
→ −
= .
5p b) Calculaţi ( ) ( )( )lim 2 1
x x f x
→ +∞ − .
5p c) Determinaţi ecuația asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( ]
( )
3 1, ,0
3 1, 0,
x x
f x x x
 + ∈ −∞
=  + ∈ +∞
.
5p a) Arătați că ( ) ( )2 5 28f f− ⋅ = − .
5p b) Demonstrați că funcția f este continuă în punctul 0x = .
5p c) Arătați că, dacă p și q sunt numere reale astfel încât ( ) ( )1 1 0p q+ ⋅ + < , atunci ( ) ( ) 0f p f q⋅ < .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )1 1 2 6a a r= + − 2p
3r = 3p
2. ( )1 3 2 3f m= ⇔ + = 3p
1m = 2p
3. ( )2
3 1 3 10 3 1x x
+ = ⇔ = 3p
0x = 2p
4. 15 17
100
p p− ⋅ = , unde p este prețul stiloului înainte de ieftinire 2p
20p = de lei 3p
5. 1dm = − , 'dm a= 2p
( )1 1 1a a− ⋅ = − ⇔ = 3p
6. 3 20
4
AC AB
AB = ⇒ = 2p
20 15 150
2
ABC∆
⋅
= =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
3 1 2
0 1 0 2
1 3 2
D = = 2p
0 6 2 0 18 2 12= + + − − − = − 3p
b) ( ) ( ) ( )6 6 1 2 2 18 2 1 8 12D a a a a a a= + + + − − − + = − 2p
2 8 12 0 2a a a− + = ⇔ = sau 6a = 3p
c)
( ) ( )
3 1 1 1 1 1
1 1 2 3
2 2 2
1 3 1
ABCn n D n D n n∆+ = ⇒ = ⋅ = −
A 3p
2 3 1n − = , de unde obținem 1n = sau 2n = 2p
2.a) ( ) ( ) 1 0 1 2 2 2
0 2 2 3 2 1 4 4
A A − − −     
+ = + = =     
− − −      3p
( )
1 1
2 2 1
2 2 A
− 
= = 
−  2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( ) 1 1 1 3 3
1 2 2 2 3 6 6
x
A A x x
− − −     
⋅ = ⋅ =     
− − −      3p
( ) ( ) ( ) 2
3 3 3 3 0 0
1 3 1 6 6 6 6 0 0
A A x A O
− −     
⋅ + = + = =     
− −     
, pentru orice număr real x 2p
c) 1
2 1 2
a a
B a a
− 
=  
− 
, deci 1
det 1 3
2 1 2
a a
B a
a a
−
= = −
− 3p
1
1 3 0 3
a a− = ⇔ = , deci matricea B este inversabilă pentru orice 1
\ 3
a  
∈  
 
ℝ 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2 21 1
5 1 5
lim lim 2 1 1 2x x
x
f x x x→− →−
+ − +
= = =
+ + − + − + 3p
4 2
2
= = 2p
b)
( ) ( )( ) ( )( ) 2
2 2
2
1 5
2 1
2 1 5
lim 2 1 lim lim 1 22 1
x x x
x
x x x x
x f x x x x x x
→+∞ → +∞ → +∞
  
− +  − +   − = = =
 + + + + 
 
3p
2= 2p
c)
( ) 2
2
5
1
5
lim lim lim 0
1 22 1
x x x
x xf x x x x x x
→ +∞ → +∞ → +∞
+
+
= = =
 + + + + 
 
3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
2.a) ( )2 7f − = − 2p
( ) ( ) ( )5 4 2 5 28f f f= ⇒ − ⋅ = − 3p
b) ( ) ( )3
0 0
0 0
lim lim 1 1
x x
x x
f x x
→ →
< <
= + = 1p
( ) ( )0 0
0 0
lim lim 3 1 1
x x
x x
f x x
→ →
> >
= + = 1p
Cum ( )0 1f = , obținem ( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= , deci funcția f este continuă în punctul 0x = 3p
c) ( ) 0 1f x x= ⇔ = − și, cum funcția f este continuă pe ℝ , obținem că funcția f are semn
constant pe fiecare din intervalele ( ), 1−∞ − și ( )1,− +∞ , și cum ( )2 0f − < și ( )5 0f > ,
obținem ( ) 0f x < pentru ( ), 1x ∈ −∞ − și ( ) 0f x > pentru ( )1,x ∈ − +∞
3p
( )( ) ( )1 1 0 , 1p q p+ + < ⇒ ∈ −∞ − și ( )1,q ∈ − +∞ sau ( )1,p ∈ − +∞ și ( ), 1q ∈ −∞ − , de unde
obținem că ( )f p și ( )f q au semne diferite, deci ( ) ( ) 0f p f q⋅ < 2p