Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2017 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul complex z , știind că 2 6z z i+ = + , unde z este conjugatul lui z .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 4 5f x x= − . Calculați ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 10f f f f+ + + +… .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )2 2log 3 1 log 1x x+ = + + .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifrele egale.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A și ( )5,5B . Determinați ecuația dreptei care
trece prin punctul ( )2,6C − și este perpendiculară pe dreapta AB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 3 2AB = , ( ) 30m ACB = °∢ și ( ) 45m BAC = °∢ . Determinați
lungimea laturii BC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2
1 1 1
2 3
4 9
A x x
x
 
 =  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Calculați ( ) ( )1 0A A− .
5p b) Arătați că ( )( ) ( )( )det 2 3A x x x= − − , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( )( ) ( )( )det detA a A x≤ , pentru orice număr real x .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 4 4 4 5x y xy x y= − − + .
5p a) Arătați că ( )( )4 1 1 1x y x y= − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Arătați că 2016 2017N =  este pătratul unui număr natural.
5p c) Determinați numerele naturale a și b pentru care 13a b = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 lnf x x x= .
5p a) Arătați că ( ) ( )2 ln 1f x x x′ = + , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ( )1 2 0e f x+ ≥ , pentru orice număr real x , ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1 x
f x x e= − .
5p a) Arătați că ( )
1
0
1
2
x
f x e dx− = −∫ .
5p b) Determinați numărul real a , știind că funcția :F →ℝ ℝ , ( ) ( ) x
F x x a e= + este o primitivă a
funcției f .
5p c) Arătați că ( )
1 3
0
1
20
x f x dx ≤ −∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )2 6 3 6a ib a ib i a ib i+ + − = + ⇔ + = + , unde z a ib= + și ,a b ∈ ℝ 2p
2a = , 1b = , deci 2z i= + 3p
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 10 4 1 5 4 2 5 4 10 5 4 1 2 10 10 5f f f+ + + = ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ − = + + + − ⋅ =… … … 3p
220 50 170= − = 2p
3. ( ) ( ) ( )2 2 2log 3 log 2 log 1 3 2 1x x x x+ = + + ⇒ + = + 3p
1x = , care verifică ecuația 2p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere cu cifrele egale, deci sunt 9
cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 90 10
p = = = 1p
5. 1 1AB dm m= ⇒ = − , unde d este dreapta care trece prin C și este perpendiculară pe AB 2p
Ecuația dreptei d este 4y x= − + 3p
6. 3 2 sin 45
sin sin sin 30
AB BC BC
C A
⋅ °
= ⇒ = =
° 2p
2
3 2 2 6
1
2
⋅
= = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
1 1 1
1 2 3 1
4 9 1
A
 
 
=  
 
 
, ( )
1 1 1
0 2 3 0
4 9 0
A
 
 
=  
 
 
2p
( ) ( )
0 0 0
1 0 0 0 1
0 0 1
A A
 
 
− =  
 
 
3p
b)
( )( ) 2 2
2
1 1 1
det 2 3 3 18 4 12 9 2
4 9
A x x x x x x
x
= = + + − − − = 3p
( )( )2 5 6 2 3x x x x= − + = − − , pentru orice număr real x 2p
c)
( )( ) 2
2 5 1
det 5 6 2 4
A x x x x
 
= − + = − − 
  2p
Valoarea minimă se obține pentru 5
2
a = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) 4 4 4 4 1x y xy x y= − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )4 1 4 1 1 4 1 1 1x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( )( )4 2016 1 2017 1 1 4 2015 2016 1N = − − + = ⋅ ⋅ + = 2p
( ) ( )22 2
4 2015 2015 1 1 4 2015 4 2015 1 2 2015 1 4031= ⋅ ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + = 3p
c) ( )( ) ( )( )13 4 1 1 1 13 1 1 3a b a b a b= ⇔ − − + = ⇔ − − = 2p
Cum a și b sunt numere naturale, obținem 2a = , 4b = sau 4a = , 2b = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2 1
2 lnf x x x x x
′ = + ⋅ = 3p
( )2 ln 2ln 1x x x x x= + = + , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 0f = , ( )' 1 1f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 1y x= − 3p
c) ( ) 1
' 0f x x e
= ⇔ = 1p
( )
1
0, ' 0x f x
e
 
∈ ⇒ ≤ 
  , deci f descrescătoare pe 1
0, e
 
 
  1p
( )
1 , ' 0x f x
e
 
∈ +∞ ⇒ ≥
  , deci f crescătoare pe 1 ,
e
 
+∞ 
  1p
Cum 1 1
2
f ee
  = − 
  , obținem ( ) ( )
1 1 2 0
2
f x e f x
e
≥ − ⇔ + ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a)
( ) ( ) ( )
1 1 1 2
0 0 0
1
1 1 2 0
x x x x
f x e dx x e e dx x dx x− −  
= − = − = − =  
 
∫ ∫ ∫ 3p
1 1
1
2 2
= − = − 2p
b) ( ) ( )' 1 x
F x x a e= + + , x ∈ ℝ 2p
( ) ( ) ( ) ( )' 1 1x x
F x f x x a e x e= ⇒ + + = − pentru orice număr real x , de unde obținem 2a = − 3p
c) ( ) ( )3 4 3 x
x f x x x e= − și, cum [ ]0,1 1 x
x e∈ ⇒ ≤ și 4 3 0x x− ≤ , obținem ( )3 4 3
x f x x x≤ − 3p
( ) ( )
1 1 5 4
3 4 3
0 0
1 1
5 4 200
x x
x f x dx x x dx  
≤ − = − = −  
 
∫ ∫ 2p