Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2017 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2 2 6
2 2 5
i i
i i
+ −
+ =
− + , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației ( )2 2
2 3 3 2 0x m x m m− + + + + = . Arătați că ( )2
1 2 1x x− = ,
pentru orice număr real m .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 5x x− = − .
5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma doar cu cifre pare.
5p 5. Se consideră triunghiul ABC și punctele M , N și P , mijloacele laturilor AB , BC , respectiv
AC . Demonstrați că BM BN BP+ =




 


 


 .
5p 6. Determinaţi numerele reale x , știind că sin 2 cosx x= și ,
2
x
π π
 
∈  
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1 1
1 3
1 3
A a a
a
 
 
=  
 
 
și sistemul de ecuații
1
3 2
3 2
x y z
x ay z
x y az
+ + =
 + + =
 + + =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( ) ( )( )det 1 3A a a a= + − , pentru orice număr real a .
5p b) Determinați numerele reale m pentru care ( ) ( ) ( ) ( )2 2A m A m A m A m− = − .
5p c) Determinați numerele întregi a pentru care sistemul are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z , iar 0x , 0y și
0z sunt numere întregi.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 5 10 10 18x y xy x y∗ = − + + − .
5p a) Arătați că ( )( )2 5 2 2x y x y∗ = − − − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinaţi numerele naturale n , ştiind că ( )n n n n∗ ∗ = .
5p c) Arătați că, dacă a a b∗ = și b b a∗ = , atunci 2a b= = sau 9
5
a b= = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 2
x
f x
x x
=
+ +
.
5p a) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p b) Arătați că ( )( )2
2
1
lim x
x f x e→+∞ = .
5p c) Demonstrați că pentru orice număr real a , ( )2, 1a ∈ − − , ecuația ( )f x a= are exact două soluții
reale distincte.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1
1
f x x
= + și, pentru fiecare număr natural nenul n , se
consideră numărul ( )
1
0
n
nI x f x dx= ∫ .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
1
0
2 2 1f x dx = −∫ .
5p b) Demonstrați că 1
1
nI n
≤ + , pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Demonstrați că ( ) 12 1 2 2 2n nn I nI −+ = − , pentru orice număr natural n , 2n ≥ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )
( )( )
2 2
2 22 2
2 2 2 2
i ii i
i i i i
+ + −+ −
+ = =
− + − + 2p
2 2
2 2
4 4 4 4 6
52
i i i i
i
+ + + − +
= =
− 3p
2. 1 2 2 3x x m+ = + , 2
1 2 3 2x x m m= + + 2p
( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2 1 24 4 12 9 4 12 8 1x x x x x x m m m m− = + − = + + − − − = , pentru orice număr real
m 3p
3. ( )2
3 5 3 5x x x x− = − ⇒ − = − , deci 2 11 28 0x x− + = 3p
7x = , care nu verifică ecuaţia, sau 4x = , care verifică ecuaţia 2p
4. Cifra sutelor se poate alege în 4 moduri, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri 2p
Cifra unităților se poate alege, pentru fiecare mod de alegere a primelor două cifre, în câte 3
moduri, deci se pot forma 4 4 3 48⋅ ⋅ = de numere 3p
5. MP BC
 , NP AB
 2p
BNPM paralelogram, deci BM BN BP+ =
   3p
6. ( )2sin cos cos cos 2sin 1 0 cos 0x x x x x x= ⇔ − = ⇔ = sau 1
sin 2
x = 3p
Cum ,
2
x
π π
 
∈  
  , obținem 2
x
π
= sau 5
6
x
π
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) 2
1 1 1
det 1 3 3 3 9
1 3
A a a a a a
a
= = + + − − − = 3p
( )( )2 2 3 1 3a a a a= − − = + − , pentru orice număr real a 2p
b)
( ) ( ) 2
2
3 6 61 1 1 1 1 1
2 1 3 1 2 3 4 2 10 7
1 3 1 3 2 4 7 2 10
m m
A m A m m m m m m
m m m m m
− −       
− = − = + − + +       − + − + +    
2p
( ) ( ) 2
2
3 4 4
2 6 2 10 7
6 7 2 10
m m
A m A m m m m
m m m
+ + 
 
− = − − + + 
 
− − + + 
, de unde obținem 1m = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c) Sistemul are soluție unică, deci 1a ≠ − și 3a ≠ ; pentru fiecare număr întreg a , 1a ≠ − și
3a ≠ , soluția sistemului este de forma 1 1 1
, ,
1 1 1
a
a a a
− 
 
+ + + 
3p
Cum a ∈ ℤ , obținem 1 1
, 1
1 1
a a
a a
− ∈ ⇔ +
+ + ℤ este divizor al lui 1, deci 2a = − sau 0a = 2p
2.a) 5 10 10 20 2x y xy x y∗ = − + + − + = 2p
( ) ( ) ( )( )5 2 10 2 2 2 5 2 2x y y x y= − − + − + = − − − , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( )2
2 5 2n n n∗ = − − , ( ) ( )3
2 25 2n n n n∗ ∗ = + − 3p
( ) ( ) ( )( )3 2
2 25 2 2 25 2 1 0n n n n+ − = ⇔ − − − = și, cum n este număr natural, obținem
2n =
2p
c) ( )2
2 5 2a a b b a∗ = ⇔ − = − − 1p
( )2
2 5 2b b a a b∗ = ⇔ − = − − , deci ( )4
2 125 2a a− = − − 2p
2 0a − = , de unde 2a b= = sau 1
2 5
a − = − , de unde 9
5
a b= = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )2 2
2
'
2 2 2 2
x
f x
x x x x
+
=
+ + + +
, x ∈ ℝ 3p
( ] ( ), 2 0x f x′∈ −∞ − ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ], 2−∞ − 1p
[ ) ( )2, ' 0x f x∈ − +∞ ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [ )2,− +∞ 1p
b) ( )lim 1
x
f x
→+∞
= 1p
( )( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 22
2 2
2 2
lim lim lim 1
2 2 2 2
x x
x x x xx
xx
x x x
x x
f x x x x x
− − ⋅
+ + + +
− −
→+∞ →+∞ →+∞
 
   − − 
= = + =     + + + +    
 
2p
2
2
2 2
lim 2 2 2
1x
x x
x xe e
→+∞
− −
+ += = 2p
c) :g →ℝ ℝ , ( ) ( )g x f x a= − este continuă și derivabilă pe ℝ și ( ) ( )'g x f x′= , pentru
orice x ∈ ℝ , deci g este strict descrescătoare pe ( ), 2−∞ − și strict crescătoare pe ( )2,− +∞ 2p
Cum ( )lim 1 0
x
g x a
→−∞
= − − > , ( )2 2 0g a− = − − < și ( )lim 1 0
x
g x a
→+∞
= − > , pentru orice
( )2, 1a ∈ − − , ecuaţia ( )f x a= are exact două soluţii reale distincte
3p
2.a)
( )
1 1
0 0
11 2 1
1 0
f x dx dx x
x
= = + =
+
∫ ∫ 3p
( )2 2 2 2 2 1= − = − 2p
b)
[ ] 1
0,1 1
1
x x
∈ ⇒ ≤
+ și 0n
x ≥ , deci 1
n nx x
x ≤
+ , pentru orice număr natural nenul n 2p
1 1 1
0 0
1 1
1 11 0
n n
n
n
x x
I dx x dx n nx
+
= ≤ = =
+ ++
∫ ∫ , pentru orice număr natural nenul n 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
c)
( ) ( )
1 1 1
1 1
0 0 0
1 1'2 1 2 1 2 1 2 2 2 10
n n n n
n
x
I x x dx x x n x x dx n x dx
x
− − +
= + = + − + = − =
+
∫ ∫ ∫ 3p
( )
1 1
1 1
0
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
1
n n
n n n n
x x
n dx nI nI n I nI
x
−
− −
+
= − = − − ⇒ + = −
+
∫ , pentru orice
număr natural n , 2n ≥
2p