Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2017 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 4z i= − . Calculați z z z z⋅ − − , unde z este conjugatul lui z .
5p 2. Determinați numărul real m , știind că axa Ox este tangentă graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) ( )2 2
2 1 2f x x m x m m= − + + − + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )53log 5 log 5 5x x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta
să fie multiplu de 11.
5p 5. Se consideră triunghiul ABC , punctul M mijlocul laturii BC și punctul N mijlocul medianei
AM . Demonstrați că 3 1
4 4
BN AB AC= − +
   .
5p 6. Arătați că, dacă ( ) ( )2 2
sin 3cos cos 3sin 10x y x y+ + − = și , 0, 2
x y
π 
∈ 
  , atunci x y= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( ) 2 2
1 1 1
, 1 1 2
2
x y x y
x x y y
∆ = + +
+ +
, unde x și y sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( )0, 2 2∆ = − .
5p b) Arătați că ( ) ( )( )( ), 1 1x y x y y x∆ = − − − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Demonstrați că numărul ( ),m n∆ este divizibil cu 2, pentru orice numere întregi m și n .
2. Se consideră matricea ( )
0 1
0 1 0
1 0
a a
A a
a a
− 
 
=  
 − 
, unde a este număr real.
5p a) Calculați ( ) ( )0 2A A+ .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2 1A a A b A ab a b= − − + , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Arătați că 1 3 5 2017 1
2 2 2 2 2
A A A A A
         
⋅ ⋅ =         
         
… .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( )
2
33
3 3 1
1
x x
f x
x x
+ +
=
+
.
5p a) Arătați că ( ) ( )3 3
1 1
1
f x x x
= −
+
, pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Calculați ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3
2
lim 1 2 3 n
n f f f f n
→ + ∞ + + + +… .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( )
3 2
4
3
3 , 0
1, 0
1
x
x
x x x a x
f x e x
e
 + − + ≤

=  − > −
, unde a este număr real.
5p a) Calculați ( )
3
lim
x
f x
x→ − ∞ .
5p b) Determinați numărul real a pentru care funcţia f este continuă în punctul 0x = .
5p c) Demonstrați că, dacă ( )6, 3a ∈ − − , atunci ecuația ( ) 0f x = are cel puțin două soluții reale distincte
în intervalul ( )3, 1− − .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( ) ( )4 4 4 4z z z z i i i i⋅ − − = − + − − − + = 2p
2 2
4 8 9i= − − = 3p
2. ( ) ( )2 2
2 1 4 2 8 7m m m m∆ = + − − + = − 2p
Axa Ox este tangentă graficului funcției 7
0 8 7 0 8
f m m⇔ ∆ = ⇔ − = ⇔ = 3p
3. ( ) ( )( )5 5 5 5 5
5
3
3log 5 log 5 5 log 5 log 5 log 1 log 3 0
log
x x x x x
x
+ = ⇒ + + = ⇒ − − = 3p
5x = sau 125x = , care verifică ecuația 2p
4. Sunt 900 de numere naturale de trei cifre, deci numărul cazurilor posibile este egal cu 900 2p
Numerele naturale de trei cifre, care sunt multipli de 11, sunt 10 11, 11 11, , 90 11⋅ ⋅ ⋅… , deci
numărul cazurilor favorabile este egal cu 81 2p
nr. cazuri favorabile 81 9
nr. cazuri posibile 900 100
p = = = 1p
5. ( )1 1 1
2 2 4
BN BA BM BA BC= + = + =
     2p
( )1 1 3 1
2 4 4 4
BA BA AC AB AC= + + = − +
     3p
6. ( )2 2 2 2
sin 6sin cos 9cos cos 6cos sin 9sin 10 6sin 0x x y y x x y y x y+ + + − + = ⇔ − = 3p
, 0, ,
2 2 2
x y x y
π
π π   
∈ ⇒ − ∈ −   
    , deci obținem 0x y− = , adică x y= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
1 1 1
0, 2 1 3 2
0 6 2
∆ = = 2p
6 6 0 0 2 12 2= + + − − − = − 3p
b)
( )
( )( ) ( )( )2 2
0 0 1 0 0 1
, 1 1 2 1 1 2
1 2 1 2 22 2 2
x y x y x y
x x y yx x y y
∆ = − − = − − =
− + − ++ − + −
3p
( )( ) ( )( )( )
1 1
1 1 1 1
2 2
x y x y y x
x y
= − − = − − −
+ + , pentru orice numere reale x și y 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c)
( )
( ) ( )2 2
1 1 1 1 1 1
, 1 1 2 1 1 2
1 1 22
m n m n m n
m m n nm m n n
∆ = + + = + +
+ ++ +
1p
Cum numerele m și n sunt întregi, numerele ( )1m m + și ( )1n n + sunt divizibile cu 2, deci
există numerele întregi k și l astfel încât ( )1 2m m k+ = și ( )1 2n n l+ = 2p
( )
1 1 1 1 1 1
, 1 1 2 2 1 1 2
2 2 2 1
m n m n m n
k l k l
∆ = + + = + + , deci numărul ( ),m n∆ este divizibil cu 2 2p
2.a)
( )
0 0 1
0 0 1 0
1 0 0
A
− 
 
=  
 − 
, ( )
2 0 1
2 0 1 0
1 0 2
A
 
 
=  
 
 
2p
( ) ( )
2 0 0
0 2 0 2 0
0 0 2
A A
 
 
+ =  
 
 
3p
b)
( ) ( )
0 1 0 1 2 1 0 2
0 1 0 0 1 0 0 1 0
1 0 1 0 2 0 2 1
a a b b ab a b ab a b
A a A b
a a b b ab a b ab a b
− − − − + − −    
    
= = =    
    − − − − − − +    
3p
( )
( )
( )
2 1 0 2 1 1
0 1 0 2 1
2 1 1 0 2 1
ab a b ab a b
A ab a b
ab a b ab a b
 − − + − − + − 
 
= = − − + 
 − − + − − − + 
, pentru orice numere
reale a și b
2p
c) ( )
1 1 1 1
2 1
2 2 2 2
A A a A a a A
     
= ⋅ ⋅ − − + =     
      , pentru a număr real 2p
1 3 5 2017 1 3 5 2017
2 2 2 2 2 2 2 2
A A A A A A A A
                
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =                
                
… …
1 5 2017 1 2017 1
2 2 2 2 2 2
A A A A A A
            
= ⋅ ⋅ = = =            
             … …
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( )
( )
3 33 2 3
3 33 3
13 3 1
1 1
x xx x x x
f x
x x x x
+ −+ + + −
= = =
+ + 3p
( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3 3 33 3
1 1 1
1 1 1
x x
xx x x x x
+
= − = −
+ + +
, ( )0,x ∈ +∞ 2p
b)
( ) ( )3 3
1 1
lim lim 0
1x x
f x x x→ +∞ → +∞
 
 = − =
 + 
3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
c)
( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
lim 1 2 lim 1
1 2 2 3 1n n
f f f n n n→ + ∞ → + ∞
 
 + + + = − + − + + − =
 + 
… … 1p
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
3
3 3
3
2
1 1
1
2
3
1
lim 1 2 lim 1 1
n
n n
n
n n
f f f n
n
−
+ +
−
→ + ∞ → + ∞
 
  −  + + + = + =
  +   
 
… 2p
( )
3
3
2
lim
1
2
1n
n
n
e e
→ + ∞
−
+
= = 2p
2.a)
( ) 3
3 2 2 3
3 3 3
3 1
1
3
lim lim lim
x x x
a
x
f x x x x a x x x
x x x→ −∞ → −∞ → −∞
 
+ − + + − +  = = = 3p
2 3
3 1
lim 1 1
x
a
x x x→ −∞
 
= + − + = 
  2p
b) f este continuă în ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0 lim lim 0
x x
x x
x f x f x f
→ →
< >
= ⇔ = = 1p
( ) ( )3 2
0 0
0 0
lim lim 3
x x
x x
f x x x x a a
→ →
< <
= + − + = , ( ) ( )( )24
3 20 0 0
0 0 0
1 11 4
lim lim lim 31 1
x xx
x x xx x x
x x x
e ee
f x e e e→ → →
> > >
+ +−
= = =
− + + ,
( )0f a=
3p
4
3
a = 1p
c) Pentru ( )6, 3a ∈ − − , avem ( )3 3 0f a− = + < , ( )1 3 0f a− = + < și ( )2 6 0f a− = + > 3p
Funcția f este continuă pe ( ),0−∞ , deci ecuația ( ) 0f x = are cel puțin o soluție reală în
intervalul ( )3, 2− − și cel puțin o soluție reală în intervalul ( )2, 1− − 2p