Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2016 – varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 8
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 8
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 48 27 3− = .
5p 2. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= −
și :g →ℝ ℝ , ( ) 2g x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 8 3
3 9x− = .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele 5, 6, 7, 8 și 9.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 4A , ( )5, 4B şi ( )5,8C . Arătați că AB BC= .
5p 6. Arătați că sin 45 cos 45 cos 60 1° ⋅ ° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziţie 1x y xy x y= − − + .
5p 1. Arătați că 1 2016 0= .
5p 2. Arătați că legea de compoziţie „  ” este comutativă.
5p 3. Demonstrați că ( )( )1 1x y x y= − − , pentru orice numere reale x și y .
5p 4. Determinați numerele reale x , pentru care ( )1 0x x− = .
5p 5. Arătați că ( ) ( )2 22 2 1 1x x x x= − + , pentru orice număr real x .
5p 6. Determinați numerele naturale a și b , știind că 3a b = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2 1
4 2
A  
=  
− − 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
şi ( ) 2M a A aI= + , unde a este număr real.
5p 1. Arătați că det 0A = .
5p 2. Determinaţi numerele reale a , pentru care ( )( )det 16M a = .
5p 3. Arătați că ( ) ( ) ( )1 0 1 3M M M A− + + = .
5p 4. Demonstrați că ( ) ( ) ( ) 2M a M b a b A abI⋅ = + + , pentru orice numere reale a și b .
5p 5. Determinaţi valorile reale ale lui a , pentru care matricea ( )M a este inversabilă.
5p 6. Rezolvaţi în ( )2 ℝ
M ecuaţia ( )1M X A⋅ = .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 48 4 3= , 27 3 3= 2p
4 3 3 3 3− = 3p
2. ( ) ( ) 2 1 2 3 3f x g x x x x= ⇔ − = − ⇔ = 3p
Coordonatele punctului de intersecție sunt 1x = și 1y = 2p
3. 8 3 2
3 3 8 3 2x x− = ⇔ − = 3p
2x = 2p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 2 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 5 moduri, deci se
pot forma 2 5 10⋅ = numere 3p
5. 4AB = 2p
4BC AB BC= ⇒ = 3p
6. 2
sin 45 2
° = , 2
cos 45 2
° = , 1
cos60 2
° = 3p
2 2 1
sin 45 cos 45 cos 60 1
2 2 2
° ⋅ ° + ° = ⋅ + = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 1 2016 1 2016 1 2016 1= ⋅ − − + =
 3p
2015 2015 0= − = 2p
2. 1y x yx y x= − − + =
 2p
1xy x y x y= − − + = 
 , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziţie „ 
 ” este
comutativă 3p
3. ( )1x y xy x y= − − − =
 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1x y y x y= − − − = − − , pentru orice numere reale x și y 3p
4. ( ) ( )( )1 2 1x x x x− = − −
 2p
( )( )2 1 0 1x x x− − = ⇔ = sau 2x = 3p
5. ( )( )2 2 2 2
1 1x x x x= − − =
 2p
( )( )( )( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1 1 1x x x x x x= − + − + = − + , pentru orice număr real x 3p
6. ( )( )1 1 3a b− − = 2p
Cum a și b sunt numere naturale, obținem 2a = , 4b = sau 4a = , 2b = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )
2 1
det 2 2 4 1
4 2
A = = ⋅ − − − ⋅ =
− − 3p
4 4 0= − + = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
2. ( ) ( )( ) 22 1 2 1
det
4 2 4 2
a a
M a M a a
a a
+ + 
= ⇒ = = 
− − + − − +  3p
2 16 4a a= ⇔ = − sau 4a = 2p
3. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 21 0 1 1 0 1M M M A I A I A I− + + = + − ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = 3p
2 2 3A I A A I A= − + + + = 2p
4. 0 0
0 0
A A  
⋅ =  
  2p
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2M a M b A aI A bI A A a b A abI a b A abI⋅ = + + = ⋅ + + + = + + , pentru orice
numere reale a și b 3p
5. Matricea ( )M a este inversabilă ( )( )det 0M a⇔ ≠ 2p
{ }2 0 \ 0a a≠ ⇔ ∈ ℝ 3p
6. ( )( )det 1 1 0M = ≠ și ( )( ) 1 1 1
1 4 3
M − − − 
=  
  2p
( )( ) 1 2 1
1 4 2
X M A X
−  
= ⋅ ⇔ =  
− −  3p