Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2016 – sesiunea specială, varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 5
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 5
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 1
2 1 1 1 5
2 3 4
   
+ + + =   
    .
5p 2. Determinați valorile reale ale lui x , pentru care ( ) ( )f x g x≥ , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2f x x= − și
:g →ℝ ℝ , ( ) 4g x x= + .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 4
7 7x x+ = .
5p 4. O firmă folosește 6000 de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă 5% din profitul anual al
firmei. Calculați profitul anual al firmei.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,0A , ( )6, 4B și ( )0, 4C . Calculați perimetrul
triunghiului ABC .
5p 6. Arătați că 2 2 1
sin 30 cos 60 2
° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 5x y x y= + + .
5p 1. Arătați că ( )1 1 5− = .
5p 2. Arătați că legea de compoziţie „  ” este asociativă.
5p 3. Verificați dacă 5e = − este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p 4. Determinați numerele reale x , pentru care 2 7x x = .
5p 5. Demonstrați că ( ) ( ) ( )( )2 2
5 1x y x y x y x y− − − = − + + , pentru orice numere reale x și y .
5p 6. Determinați numerele naturale m și n , știind că 6m n = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
0 0
0 0
O  
=  
 
și ( ) 1
1
a
A a a
 
=  
 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p 2. Determinaţi numerele reale a , pentru care ( )( )det 0A a = .
5p 3. Arătați că ( ) ( ) ( ) 21 1 2 1A A A O⋅ − = .
5p 4. Determinaţi numărul real a , pentru care ( ) ( ) ( )2 3 1A A a A⋅ = .
5p 5. Demonstrați că ( ) ( )( )det 0 0A a A− ≤ , pentru orice număr real a .
5p 6. Determinaţi numerele reale a și b , știind că ( ) ( ) 2A a A b O⋅ = .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3
1 2 2
+ = , 1 4
1 3 3
+ = , 1 5
1 4 4
+ = 3p
3 4 5
2 5
2 3 4
⋅ ⋅ ⋅ = 2p
2. ( ) ( ) 3 2 4f x g x x x≥ ⇔ − ≥ + 2p
[ )3 3,x x≥ ⇔ ∈ + ∞ 3p
3. 2 2
3 4 4 3 0x x x x+ = ⇔ − + = 3p
1x = sau 3x = 2p
4. 5% 20
x
x⋅ = , unde x este profitul anual al firmei 3p
6 000 120 000
20
x x= ⇒ = de lei 2p
5. ( ) ( )2 2
6 3 4 0 5AB = − + − = , ( ) ( )2 2
0 3 4 0 5AC = − + − = 2p
6 5 5 6 16ABCBC P∆= ⇒ = + + = 3p
6. 1
sin 30 2
° = , 1
cos 60 2
° = 2p
2 2 1 1 1
sin 30 cos 60 4 4 2
° + ° = + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 1 1 1 5− = − + + =
 3p
0 5 5= + = 2p
2. ( ) ( ) ( )5 5 5 10x y z x y z x y z x y z= + + = + + + + = + + +
 
 
 2p
( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 10x y z x y z x y z x y z x y z= + + = + + + + = + + + =
 
 
 
 
 , pentru orice numere
reale x , y și z , deci legea de compoziție „ 
 ” este asociativă 3p
3. ( ) ( )5 5 5x x x− = + − + =
 2p
( ) ( ) ( )5 5 5 5x x x x− = − + + = = −
 
 , pentru orice număr real x , deci 5e = − este elementul
neutru al legii de compoziție „ 
 ” 3p
4. 2 2
5 7 2 0x x x x+ + = ⇔ + − = 3p
2x = − sau 1x = 2p
5. ( ) ( )2 2 2 2
5 5 5x y x y x y x y− − − = − − + − + =
 2p
( )( ) ( ) ( )( )2 2 1x y x y x y x y x y x y x y= − + − = − + + − = − + + , pentru orice numere reale x
și y 3p
6. 5 6 1m n m n+ + = ⇔ + = 2p
Cum m și n sunt numere naturale, obținem 0m = , 1n = sau 1m = , 0n = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
1 0 1 0
0 det 0 1 1 0 0
0 1 0 1
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
1 0 1= − = 2p
2. ( )( ) 21
det 1
1
a
A a a
a
= = − 2p
( )( ) 2
det 0 1 0 1A a a a= ⇔ − = ⇔ = − sau 1a = 3p
3. ( ) ( ) 2 2
1 1 2 2
A A  
⋅ =  
 
, ( ) 2 2
2 1 2 2
A  
=  
  3p
( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 2 0 0
1 1 2 1 2 2 2 2 0 0
A A A O
     
⋅ − = − = =     
      2p
4. 1 2 1 1 1 1 2 2 3 3
3
2 1 1 1 1 2 2 1 3 3
a a a
a a a
+ +         
⋅ = ⇔ =         
+ +          3p
1a = 2p
5. ( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0
0 det 0
0 0
a a
A a A A a A
a a
 
− = ⇒ − = = 
  3p
2 0a= − ≤ , pentru orice număr real a 2p
6. 1 1 0 0 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0
a b ab b a
a b a b ab
+ +         
⋅ = ⇔ =         
+ +          2p
Cum 1ab = − și b a= − , obținem 1a = , 1b = − sau 1a = − , 1b = 3p