Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2016 – sesiunea august–septembrie, 24 august 2016, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 25 64 169 0+ − = .
5p 2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia ( )3 2 9x + ≤ .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )3 3log 2 8 log 2x − = .
5p 4. Prețul unui obiect este 1000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori,
succesiv, cu câte 10% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3A , ( )5,6B şi ( )5,3C . Arătați că patrulaterul
AOCB este paralelogram.
5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC , ştiind că ( ) 60m A = °∢ şi 6AB AC= = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 5x y x y∗ = + − .
5p 1. Arătaţi că ( )2 7 0− ∗ = .
5p 2. Arătaţi că legea de compoziție „ ∗ ” este asociativă.
5p 3. Arătaţi că ( ) ( ) ( ) ( )1 2 8 9 1 9 2 8∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ .
5p 4. Determinaţi numărul real x , pentru care ( )x x x x∗ ∗ = .
5p 5. Determinaţi numărul real x , pentru care 9 3 7x x
∗ = .
5p 6. Demonstrați că 2
2
1 3x x
∗ ≥ − , pentru orice număr real nenul x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele ( ) 1
2 3
a
A a  
=  
 
și 1 1
0 1
B  
=  
 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătaţi că det 1B = .
5p 2. Determinaţi numerele reale a , știind că ( )( )det 0aA a = .
5p 3. Determinați valorile reale ale lui a , pentru care matricea ( )A a este inversabilă.
5p 4. Demonstrați că ( ) ( ) ( )1 1 2A a A a A a− + + = , pentru orice număr real a .
5p 5. Determinaţi numărul real a , știind că ( )( )det 3A a B a+ = + .
5p 6. Rezolvaţi în ( )2 ℝ
M ecuaţia ( )1X A B⋅ = .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 25 5= , 64 8= , 169 13= 3p
5 8 13 0+ − = 2p
2. 2 3x + ≤ 2p
1x ≤ , deci ( ],1x ∈ −∞ 3p
3. 2 8 2x − = 3p
5x = , care verifică ecuația 2p
4. După prima ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 1000 10% 1000 900− ⋅ = de lei 3p
După a doua ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 900 10% 900 810− ⋅ = lei 2p
5. 5A C O Bx x x x+ = + = 2p
6A C O By y y y+ = + = , adică segmentele AC și OB au același mijloc, deci AOCB este
paralelogram 3p
6. 3
6 6
sin 2
2 2
ABC
AB AC A
∆
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= = =
A 3p
9 3= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )2 7 2 7 5− ∗ = − + − = 3p
5 5 0= − = 2p
2. ( ) ( ) ( )5 5 5 10x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = + − ∗ = + − + − = + + − 2p
( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 10 ,x y z x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = ∗ + − = + + − − = + + − = ∗ ∗ pentru orice
numere reale x , y și z , deci legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă 3p
3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 8 9 1 2 5 8 9 5 2 12 2 12 5 5∗ ∗ ∗ = + − ∗ + − = − ∗ = − + − = 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 9 2 8 1 9 5 2 8 5 5 5 5 5 5 5 1 2 8 9∗ ∗ ∗ = + − ∗ + − = ∗ = + − = = ∗ ∗ ∗ 3p
4. 2 5x x x∗ = − , ( ) 3 10x x x x∗ ∗ = − 3p
3 10 5x x x− = ⇔ = 2p
5. ( )( )9 3 5 7 3 4 3 3 0x x x x
+ − = ⇔ + − = 3p
Cum 3 0x > , obținem 1x = 2p
6. 2 2
2 2
1 1
3 5 3x x
x x
∗ ≥ − ⇔ + − ≥ − 2p
2
2
2
1 1
2 0 0x x xx
 
+ − ≥ ⇔ − ≥ 
  , relație adevărată, pentru orice număr real nenul x 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 1 1
det 1 1 1 0
0 1
B = = ⋅ − ⋅ = 3p
1 0 1= − = 2p
2.
( ) ( )( )
2 2 3 2
det 3 2
2 3 2 3
a a a a
aA a aA a a a
a a a a
 
= ⇒ = = −  
 
3p
3 2
3 2 0 0a a a− = ⇔ = sau 2
3
a = 2p
3. ( )( ) 1
det 3 2
2 3
a
A a a= = − 2p
Matricea ( )A a este inversabilă ( )( ) 2
det 0 3 2 0 \ 3
A a a a  
⇔ ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ∈  
 
ℝ 3p
4. ( ) 1 1
1 2 3
a
A a − 
− =  
 
, ( ) 1 1
1 2 3
a
A a + 
+ =  
  2p
( ) ( ) ( )
2 2 1
1 1 2 2
4 6 2 3
a a
A a A a A a
   
− + + = = =   
   
, pentru orice număr real a 3p
5. ( ) ( )( )
1 2 1 2
det 4
2 4 2 4
a a
A a B A a B a
+ + 
+ = ⇒ + = = 
  3p
4 3 1a a a= + ⇔ = 2p
6. ( ) ( )
1 1
1 det 1 1 0
2 3
A A
 
= ⇒ = ≠ 
 
, ( )( ) 1 3 1
1 2 1
A − − 
=  
−  3p
( )( ) 1 1 0
1 2 1
X B A X
−  
= ⋅ ⇔ =  
−  2p