Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2016 – varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 10 1
2 5 3
 − ⋅ = 
  .
5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul ( )1, 0A aparține graficului funcţiei :f →ℝ ℝ ,
( )f x x a= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 5x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10, 20,30, 40,50,60,70, 80,90M = ,
acesta să fie multiplu de 30.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,5A şi ( )7,5B . Determinaţi coordonatele
mijlocului segmentului AB .
5p 6. Dacă 0, 2
x
π 
∈ 
  și 5
cos 13
x = , arătați că 12
tg 5
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 1
1 0
A  
=  
− 
şi 0 1
1 1
B − 
=  
 
.
5p a) Arătați că det 1A = .
5p b) Arătați că 2B B A O⋅ + = , unde 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p c) Determinați numerele reale x și y , pentru care 2 0
0 4
x
y
A B  
 + =  
 
.
2. Se consideră polinomul 3 2
2 2 1f X X X= − − + .
5p a) Arătați că ( )1 2f = − .
5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 1X + .
5p c) Demonstrați că ( )( )( )2 3 3 1 1 2 3x x x x x x+ + + = − , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3 2f x x x= − + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
2
lim 9
2x
f x
x→ = −
− .
5p c) Demonstrați că ( ) 4f x ≤ , pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= + .
5p a) Arătaţi că ( )( )
1
1
2 0f x dx
−
− =∫ .
5p b) Arătați că ( )
1
0
2 1x
e f x dx e= −∫ .
5p c) Determinaţi numărul real a , știind că ( ) ( )( )
6
0 0
4
a a
f x dx f x dx
−
= −∫ ∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 3
2 5 10
− = 3p
3 10 1
10 3
⋅ = 2p
2. ( )1 0 1 0f a= ⇒ − = 3p
1a = 2p
3. 1 25x + = 3p
24x = , care verifică ecuația 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 1p
Multiplii de 30 din mulțimea M sunt 30, 60 și 90, deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 9 3
p = = = 2p
5. 5Mx = , unde punctul M este mijlocul segmentului AB 3p
5My = 2p
6. 2
2 2 5 144
sin 1 cos 1 13 169
x x  = − = − = 
  și, cum 0, 2
x
π ∈ 
  , obținem 12
sin 13
x = 3p
sin 12 13 12
tg cos 13 5 5
x
x x
= = ⋅ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
1 1
det 1 0 1 1
1 0
A = = ⋅ − ⋅ − =
− 3p
0 1 1= + = 2p
b) 1 1
1 0
B B − − 
⋅ =  
  3p
2
1 1 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0
B B A O
− −     
⋅ + = + = =     
−      2p
c) 1 0
0 1
A B  
+ =  
  2p
1 0 2 0 2 1
0 1 0 4 4 1
x x
y y
   =  
 = ⇔      =  
, deci 0x = și 0y = 3p
2.a) ( ) 3 2
1 1 2 1 2 1 1f = − ⋅ − ⋅ + = 3p
1 2 2 1 2= − − + = − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) Câtul este 2 3 1X X− + 3p
Restul este 0 2p
c) 1 2 3 2x x x+ + = 2p
( )( )( ) ( )( )( ) ( )2 3 3 1 1 2 1 2 32 2 2 2 3x x x x x x x x x f+ + + = − − − = = − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
' 3 3f x x= − + = 3p
( ) ( )( )2
3 1 3 1 1x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) ( ) ( )
2 2
2
lim lim
2 2x x
f x f x f
x x→ →
−
= =
− − 3p
( )' 2 9f= = − 2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = − sau 1x = 2p
[ ] ( )1,1 ' 0x f x∈ − ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [ ]1,1− 1p
[ ) ( )1, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe [ )1, +∞ 1p
Cum ( )1 4f = , obținem ( ) 4f x ≤ , pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ 1p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
1 1 1
2 2 2f x dx x dx xdx
− − −
− = + − = =∫ ∫ ∫ 2p
2 1 1 1 0
2 2 21
x
= = − =
− 3p
b)
( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1 1
2 2 0 0
x x x x
e f x dx e x dx e x e= + = + − =∫ ∫ 3p
( ) ( )3 2 1 2 1e e e= − − − = − 2p
c)
( ) ( ) 2
0 0
2 2
2
a a a
f x dx x dx a= + = +∫ ∫ 2p
( )( ) ( ) ( ) ( )
26 6
0 0
6
4 2 2 6
2
a a a
f x dx x dx a
− − −
− = − = − −∫ ∫ 2p
( ) ( )
22 6
2 2 6 1
2 2
aa a a a
−
+ = − − ⇔ = 1p