Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2016 – sesiunea specială, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 3 1
1 : 1
4 4
 − = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − . Calculați ( ) ( )1 1f f− + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 4 4x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10A = , acesta
să fie multiplu de 3.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O , ( )0,5A şi ( )5,0B . Arătați că triunghiul
AOB este isoscel.
5p 6. Calculați aria triunghiului ABC , dreptunghic în A cu 4AB = și 3AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
1 1
A  
=  
 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 1A = − .
5p b) Arătați că 22A A A I⋅ − = .
5p c) Determinați numărul real x , pentru care 2A B I⋅ = , unde 1
1 1
x
B x
− 
=  
− − 
.
2. Se consideră polinomul 3 2
5 4f X X= + − .
5p a) Arătați că ( )1 2f = .
5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 1X + .
5p c) Demonstrați că 2 3 3 1 1 2
1 2 3
3
x x x x x x
x x x
+
+
+
+ = −
+ , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3
3f x x x= − .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
' 3 1f x x= − , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
ln
lim 0
x
x
f x→+∞
= .
5p c) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2 1f x x x x= − + − .
5p a) Arătați că ( )( )
1 2
1
1 0f x x x dx
−
+ − + =∫ .
5p b) Arătaţi că funcția :F →ℝ ℝ , ( ) 4 3 2
4 3 2
x x x
F x x= − + − este o primitivă a funcției f .
5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei
[ ]g : 1,2 → ℝ , ( ) ( )
2 1
f x
g x x
= + .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 1
1 4 4
− = 3p
1 1
: 1
4 4 = 2p
2. ( )1 0f − = 2p
( ) ( ) ( )1 0 1 1 0f f f= ⇒ − + = 3p
3. 3 4 16x + = 3p
4x = , care verifică ecuația 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 1p
Multiplii de 3 din mulțimea A sunt 3, 6 și 9, deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3
nr. cazuri posibile 10
p = = 2p
5. 5AO = 2p
5BO AOB= ⇒ ∆ este isoscel 3p
6. 4 3
2
ABC∆
⋅
= =
A 3p
6= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2
det 1 1 2 1
1 1
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
1 2 1= − = − 2p
b) 3 4
2 3
A A  
⋅ =  
  3p
2
3 4 2 4 1 0
2 2 3 2 2 0 1
A A A I
     
⋅ − = − = =     
      2p
c) 2 3 2
2 1
x x
A B x x
− − 
⋅ =  
− −  3p
2 3 2 1 0
2 1 0 1
x x
x x
− −   
=   
− −   
, de unde obținem 2x = 2p
2.a) ( ) 3 2
1 1 5 1 4f = + ⋅ − = 3p
1 5 4 2= + − = 2p
b) Câtul este 2 4 4X X+ − 3p
Restul este 0 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 1 2 1 3 2 3 0x x x x x x+ =+ , 1 2 3 4x x x = 2p
2 3 3 1 31 2 1 2
1 2 3 1 2 3
1 2
2 3
3
1
55 5 1 3
1
5 5 1x x x x xx x x x
x x x x x x x x x
x x x + + − −+ − − − −
+ + = − ⇒  
+ + = + + = − + + − = 
 
1 2 1 3 2 3
1 2 3
5 3 5 0 3 3
x x x x x x
x x x
+ +
= − ⋅ − = − ⋅ − = −
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )3 ''' 3f x x x= − = 2p
( )2 2
3 3 3 1x x= − = − , x ∈ ℝ 3p
b)
( )
( )
( )3 3
ln 'ln ln
lim lim lim
3 3 'x x x
xx x
f x x x x x→+∞ →+∞ →+∞
= = =
− − 3p
2
1
lim 0
3 3x
x
x→+∞
= =
−
2p
c) ( )1 2f = , ( )' 1 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 2y = 3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1 4
2 3 2 2 3
1 1 1
1
1 1 1 4 1
x
f x x x dx x x x x x dx x dx
− − −
+ − + = − + − + − + = = =
−
∫ ∫ ∫ 3p
1 1 0
4 4
= − = 2p
b)
( ) 4 3 2 3 2' 4 3 2
' 1
4 3 2 4 3 2
x x x x x x
F x x
 
= − + − = − + − =  
 
3p
( )3 2 1x x x f x= − + − = , x ∈ ℝ 2p
c)
( ) ( ) ( )32 2 22
1 1
21
1 π ( ) π 1 3 1
x
g x x V g x dx x dx
π −
= − ⇒ = = − = ⋅ =∫ ∫ 3p
3
π
= 2p