Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2016 – sesiunea specială, varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 1
: 1
3 4 12
 − = 
  .
5p 2. Arătați că ( )1 2 1 24 3 2x x x x+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 5 6 0x x− + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 2x − = .
5p 4. După o ieftinire cu 10% , preţul unui obiect este 90 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de
ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5,1A şi ( )3,1B . Calculați lungimea segmentului
AB .
5p 6. Dacă 0, 2
x
π 
∈ 
  și 4
cos 5
x = , arătați că 3
sin 5
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2 3
3 2
A  
=  
 
și 1
1
x
B x
 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 5A = − .
5p b) Arătați că A B B A⋅ = ⋅ , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( ) 23A A A B I⋅ − + = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 1
3
x y xy x y∗ = + + .
5p a) Arătaţi că ( )1 3 3∗ − = − .
5p b) Demonstrați că ( )( )
1 3 3 3
3
x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale nenule x , pentru care 1 3x x
∗ = − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3f x x x= − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
0
3
lim 0
x
f x x
x→
+ = .
5p c) Demonstrați că ( ) 2f x ≥ − , pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 4 1f x x x= + + .
5p a) Arătaţi că ( )( )
1
0
1
1 5
f x x dx− − =∫ .
5p b) Arătaţi că ( )( ) 2
4
1
1
1 ln 4
e e
f x x x dx +
− − =∫ .
5p c) Determinaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox și dreptele de ecuaţii
0x = şi 1x = .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 1
3 4 12
− = 3p
1 1
: 1
12 12 = 2p
2. 1 2 5x x+ = , 1 2 6x x = 2p
( )1 2 1 24 3 4 5 3 6 2x x x x+ − = ⋅ − ⋅ = 3p
3. 1 4x − = 3p
5x = , care verifică ecuația 2p
4. 10% 90p p− ⋅ = , unde p este prețul obiectului înainte de ieftinire 3p
100p = de lei 2p
5. ( ) ( )2 2
3 5 1 1AB = − + − = 3p
2= 2p
6. 2
2 2 4 9
sin 1 cos 1 5 25
x x  = − = − = 
  3p
Cum 0, 2
x
π ∈ 
  , obținem 3
sin 5
x = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2 3
det 2 2 3 3
3 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
4 9 5= − = − 2p
b) 2 3 2 3
3 2 3 2
x x
A B x x
+ + 
⋅ =  
+ +  2p
2 3 3 2
2 3 3 2
x x
B A A B
x x
+ + 
⋅ = = ⋅ 
+ + 
, pentru orice număr real x 3p
c) 13 12
12 13
A A  
⋅ =  
 
, 2 4
4 2
x
A B x
+ 
+ =  
+  2p
( ) ( )
( )2
13 3 2 12 12 1 0
3 12 12 13 3 2 0 1
x
A A A B I x
 − + −   
⋅ − + = ⇔ =   
− − +   
, de unde obținem 2x = 3p
2.a) ( ) ( ) ( )
1
1 3 1 3 1 3
3
∗ − = ⋅ ⋅ − + + − = 3p
( )1 1 3 3= − + + − = − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( )
1 1
3 3 3 3 9 3
3 3
x y xy x y xy x y∗ = + + + − = + + + − = 3p
( ) ( )( ) ( )( )
1 1
3 3 3 3 3 3 3
3 3
x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( )
1 1 1
3 3 3 3 3 3 0
3 x x
x x
   
+ + − = − ⇔ + + =   
    3p
3x = − sau 1
3
x = − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
' 3 3f x x= − = 3p
( ) ( )( )2
3 1 3 1 1x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 3
0 0
3
lim lim
x x
f x x x
x x→ →
+ = = 2p
2
0
lim 0
x x
→
= = 3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = − sau 1x = 2p
[ ] ( )1,1 ' 0x f x∈ − ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe [ ]1,1− 1p
[ ) ( )1, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 1p
Cum ( )1 2f = − , obținem ( ) 2f x ≥ − , pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ 1p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
4 4
0 0 0
1 1 1f x x dx x x x dx x dx− − = + + − − = =∫ ∫ ∫ 2p
5 1 1 1
0
05 5 5
x
= = − = 3p
b)
( )( ) 2 2
4
1 1 1
1
1 ln ln ln
2 21
e e eex x
f x x x dx x x dx x dx
x
− − = = − ⋅ =∫ ∫ ∫ 3p
2 2 2 2
1
1 1 1
2 2 2 4 4 4
e
e e e e
x dx +
= − = − + =∫ 2p
c)
( ) ( )
1 1 5 2
4
0 0
1 1 1
1 5 20 0 0
x x
f x dx x x dx x= = + + = + + =∫ ∫
A 3p
1 1 17
1
5 2 10
= + + = 2p