Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2016 – sesiunea specială, 24 mai 2016, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 01
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 01
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1
1 : 0, 25 0
4
− = .
5p 2. Calculați ( ) ( )1 1f f− ⋅ , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 5x − = .
5p 4. Un obiect costă 100 de lei. Determinaţi prețul obiectului după o scumpire cu 20% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 4A şi ( )5, 4B . Calculați distanța de la punctul
A la punctul B .
5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , dreptunghic în A , știind că 6AC = și 4
B
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
1 2
A  
=  
− 
și 1
1
x
B y
 
=  
− 
, unde x și y sunt numere reale.
5p a) Arătați că det 4A = − .
5p b) Arătați că ( )det 2 0A B− = , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x și y , pentru care A B B A⋅ = ⋅ .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2 2x y xy x y= + + + .
5p a) Arătaţi că ( )1 2 2− = − .
5p b) Demonstrați că ( )( )2 2 2x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale nenule x , pentru care 1
x x
x = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2 1f x x x x= + − + .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
' 3 2 1f x x x= + − , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
( )
'
lim 3
x
x f x
f x→+∞
= .
5p c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcţiei f în care tangenta la graficul funcţiei
f este paralelă cu dreapta 4 1y x= + .
2. Se consideră funcția :f → ℝR , ( ) 5 3 2f x x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
1 3
1
2 0f x x x dx
−
− − =∫ .
5p b) Arătați că ( )( )
2 5 3 2
0
1 3 1x
e f x x x dx e− − + = +∫ .
5p c) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este convexă pe R .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 01
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 01
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 : 0, 25 1
4 = 3p
1
1 : 0, 25 1 1 0
4
− = − = 2p
2. ( )1 0f − = 3p
( ) ( )1 1 0f f− ⋅ = 2p
3. 2 3 25x − = 3p
14x = , care verifică ecuația 2p
4. 20% din 100 este egal cu 20 100 20
100 ⋅ = 3p
Prețul după scumpire este 100 20 120+ = de lei 2p
5. ( ) ( )2 2
5 2 4 4AB = − + − = 3p
3= 2p
6. ABC∆ este isoscel AB AC⇒ = = 3p
6= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
1 2
det 1 2 1 2
1 2
A = = ⋅ − − ⋅ =
− 3p
2 2 4= − − = − 2p
b) 1 2 2 2 1 2 0
2 1 2 2 2 1 2 0
x x
A B y y
−     
− = − =     
− − −      2p
( ) 1 2 0
det 2 0
1 2 0
x
A B y
−
− = =
− , pentru orice numere reale x și y 3p
c) 2 1
2 3
x y
A B x y
+ − 
⋅ =  
− 
, 1 2 2
1 2 2
x x
B A y y
+ − 
⋅ =  
− +  2p
2 1 1 2 2
2 3 1 2 2
x y x x
x y y y
+ − + −   
=   
− − +   
, de unde obţinem 1
2
x = , 1
2
y = 3p
2.a) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 2 2− = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + =
 3p
2 2 4 2 2= − + − + = − 2p
b) 2 2 4 2x y xy x y= + + + − =
 3p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 01
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 1 0x x x x x
x x x
     
+ + − = ⇔ + + = + ⇔ + + =     
      3p
2x = − sau 1x = − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )3 2' '' ' 1'f x x x x= + − + = 2p
2 2
3 2 1 0 3 2 1x x x x= + − + = + − , x ∈ ℝ 3p
b) ( )
( )
3 2
3 2
' 3 2
lim lim 1x x
x f x x x x
f x x x x→+∞ →+∞
+ −
= =
+ − + 2p
2
2 3
2 1
3
lim 3
1 1 1
1
x
x x
x x x
→+∞
+ −
= =
+ − +
3p
c) ( )' 4f x = 2p
2 5
3 2 5 0 3
x x x+ − = ⇔ = − sau 1x = 3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
3 5 3 3 5
1 1 1
2 2 2f x x x dx x x x x x dx x dx
− − −
− − = + + − − = =∫ ∫ ∫ 2p
6 1 1 1 0
6 6 61
x
= = − =
− 3p
b)
( )( ) ( ) ( )
2 2 2
5 3
0 0 0
2
1 2 1 2 1 2
0
x x x x
e f x x x dx e x dx e x e dx− − + = + = + − =∫ ∫ ∫ 3p
( )2 2 2
5 1 2 1 3 1e e e= − − − = + 2p
c) F este o primitivă a funcției ( ) ( )f F x f x′⇒ = , x ∈ ℝ 2p
( ) ( ) 4 2
' 5 3 2 0F x f x x x′′ = = + + ≥ , pentru orice număr real x , deci F este convexă pe ℝ 3p