Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2016 – sesiunea august–septembrie, 24 august 2016, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1
1 : 0,5 0
2
− = .
5p 2. Arătați că ( )1 2 1 22 1x x x x+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 8 15 0x x− + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 1 6x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8A = , acesta să fie
divizibil cu 2.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )6,0A şi ( )0,8B . Calculați lungimea
segmentului AB .
5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , dreptunghic în A , știind că 3 2BC = și
( ) 45m B = °∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 0
2 1
A  
=  
− 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 1A = .
5p b) Arătați că 2 2A A I A⋅ + = .
5p c) Determinaţi numerele reale a , b și c , pentru care 2
2
1 1
a b
A I
c
− 
⋅ = 
+ 
.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 6x y xy x y= + + + .
5p a) Arătaţi că ( )1 3 3− = − .
5p b) Demonstrați că ( )( )3 3 3x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați valorile reale ale lui x , pentru care x x x≤ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
2 3 7f x x x= − + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )' 6 1f x x x= − , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
2
11
lim 12
2x
f x
x→
− =
− .
5p c) Demonstrați că ( ) 6f x ≥ , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 2 3f x x x= + .
5p a) Arătaţi că ( )( )
1
1
2
3 3
f x x dx
−
− =∫ .
5p b) Arătaţi că ( )( )
1 2
0
3x
f x x e dx− =∫ .
5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei
[ ]: 1, 2g → ℝ , ( ) ( )3 f x
g x x
= .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 : 0,5 1
2 = 3p
1
1 : 0,5 1 1 0
2
− = − = 2p
2. 1 2 8x x+ = , 1 2 15x x = 2p
( )1 2 1 22 2 8 15 1x x x x+ − = ⋅ − = 3p
3. 5 1 36x + = 3p
7x = , care verifică ecuația 2p
4. Mulțimea A are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile 1p
Numerele divizibile cu 2 din mulțimea A sunt 2, 4, 6 și 8, deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4 1
nr. cazuri posibile 8 2
p = = = 2p
5. ( ) ( )2 2
0 6 8 0AB = − + − = 3p
10= 2p
6. 2
cos 2 3 2
AB AB
B BC
= ⇒ = 3p
3AB = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
1 0
det 1 1 0 2
2 1
A = = ⋅ − ⋅ − =
− 3p
1 0 1= − = 2p
b)
2
1 0 1 0 1 0
4 1 4 1 0 1
A A A A I
     
⋅ = ⇒ ⋅ + = + =     
− −      3p
2 0 1 0
2 2
4 2 2 1 A
   
= = =   
− −    2p
c)
( )
21 0 2 1 0 1 0
2 2 1 2 12 1 1 1 0 1 0 1
a ba b
a c bc
−−        
= ⇔ =       − − + + − +− +        2p
3a = , 0b = , 1c = 3p
2.a) ( ) ( ) ( )1 3 1 3 3 1 3 3 6− = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + =
 3p
( )3 3 9 6 3= − + + − + = − 2p
b) 3 3 9 3x y xy x y= + + + − =
 2p
( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 3x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( )( ) ( )( )3 3 3 3 2 0x x x x x+ + − ≤ ⇔ + + ≤ 3p
[ ]3, 2x ∈ − − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )3 2
' 2 3 7f x x x
′ ′ ′= − + = 2p
( )2
6 6 6 1x x x x= − = − , x ∈ ℝ 3p
b) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
11 2
lim lim 2
2 2x x
f x f x f f
x x→ →
− − ′= = =
− − 3p
6 2 1 12= ⋅ ⋅ = 2p
c) ( )' 0 0f x x= ⇔ = sau 1x = 2p
[ ] ( )0,1 ' 0x f x∈ ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe [ ]0,1 1p
[ ) ( )1, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 1p
Cum ( )1 6f = , obținem ( ) 6f x ≥ , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ 1p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
2 2
1 1 1
3 3 3f x x dx x x x dx x dx
− − −
− = + − = =∫ ∫ ∫ 2p
3 1 2
3 31
x
= =
− 3p
b)
( )( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2
0 0 0 0
1
3 3 3 0
x x x x x
f x x e dx x x x e dx xe dx xe e dx
 
 − = + − = = − =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 3p
( ) 1
3 1 3
0
x
x e= − = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 2 22
1 1
23
3 3 9 3 9 3 1
x
g x x V g x dx x dx
π
π
π +
= + ⇒ = = + = ⋅ =∫ ∫

 3p
183
π= 2p