Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2016 – varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 1z i= − . Arătați că 2 2z i= − .
5p 2. Calculați ( )( )0g f
 , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2016f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 2016g x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 4
3 3x x x− −
= .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, , 100M = … , acesta să fie
pătrat perfect.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( )0,1A . Determinaţi ecuaţia dreptei d , care trece
prin punctul A şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie 3 2016y x= − .
5p 6. Determinaţi aria triunghiului ABC , ştiind că 6AB = , 4AC = și 6
A
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 1
2 2
m
A m m
− − 
=  
− 
, unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 4A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )1 1 2 1A m A m A+ + − = , pentru orice număr real m .
5p c) Demonstrați că matricea ( )A m este inversabilă, pentru orice număr real m .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 9 9 24x y xy x y∗ = − + + − .
5p a) Arătați că ( )( )3 3 3 3x y x y∗ = − − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Demonstrați că legea de compoziție „ ∗ ” este asociativă.
5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( ) 12x x x∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 3 3lnf x x x= − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )3
3 1
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcţiei f .
5p c) Demonstraţi că ( ) 1f x ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 3
3 3
x
f x x x
+
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2 2
1
3 3 6x x f x dx+ + =∫ .
5p b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații 0x = și
3x = are aria egală cu ln 7 .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )
0
1
0f x f x dx
−
′ =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )22 2
1 1 2z i i i= − = − + = 2p
1 2 1 2i i= − − = − 3p
2. ( )0 2016f = 2p
( )( ) ( )( ) ( )0 0 2016 0g f g f g= = =
 3p
3. 2 2
3 4 4 4 0x x x x x− = − ⇔ − + = 3p
2x = 2p
4. Mulțimea M are 100 de elemente, deci sunt 100 de cazuri posibile 1p
În mulțimea M sunt 10 pătrate perfecte, deci sunt 10 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 10 1
nr. cazuri posibile 100 10
p = = = 2p
5. Panta unei drepte paralele cu dreapta d este egală cu 3 2p
Ecuația dreptei care trece prin punctul A și este paralelă cu dreapta d este 3 1y x= + 3p
6. 1
6 4 sin 6 4
6 2
2 2
ABC
π
∆
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
A 3p
6= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 1 1 1
0 det 0
2 2 2 2
A A
− − − − 
= ⇒ = = 
− −  2p
( )2 2 4= − − = 3p
b) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 2
1 1 2 1 2 2 1 2 4 2
m m
A m A m m m
+ − − − − − −     
+ + − = + = =     
+ − − − −      3p
( )
0 1
2 2 1
2 1 A
− 
= = 
− 
, pentru orice număr real m 2p
c) ( )( ) 21 1
det 3 4
2 2
m
A m m m
m
− −
= = − +
− 2p
Pentru orice număr real m , 2 3 4 0m m− + ≠ , deci matricea ( )A m este inversabilă 3p
2.a) 3 9 9 27 3x y xy x y∗ = − + + − + = 2p
( ) ( ) ( )( )3 3 9 3 3 3 3 3 3x y y x y= − − + − + = − − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )3 3 3 3 9 3 3 3 3x y z x y z x y z∗ ∗ = − − − + ∗ = − − − + 2p
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )3 3 3 3 9 3 3 3 3x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = ∗ − − − + = − − − + = ∗ ∗ , pentru orice
numere reale x , y și z , deci legea de compoziție „ ∗ ” este asociativă 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( )3
9 3 3x x x x∗ ∗ = − + 2p
( ) ( )3 3
9 3 3 12 3 1 4x x x− + = ⇔ − = ⇔ = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2 3
3f x x x
′ = − = 3p
( )33 3 13 3 xx
x x
−−
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) ( )3
0 0
0 0
lim lim 3ln
x x
x x
f x x x
→ →
> >
= − = +∞ 2p
Dreapta de ecuație 0x = este asimptotă verticală la graficul funcției f 3p
c) ( ) 0 1f x x′ = ⇔ = 1p
( ] ( )0,1 0x f x′∈ ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]0,1 1p
[ ) ( )1, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 1p
Cum ( )1 1f = , obținem ( ) 1f x ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1
2
3 3 2 3 3 1
x x f x dx x dx x x+ + = + = + =∫ ∫ 3p
10 4 6= − = 2p
b)
( ) ( )
3 3 2
2
0 0
32 3 ln 3 3
3 3 0
x
f x dx dx x x
x x
+
= = = + + =
+ +
∫ ∫
A 3p
ln 21 ln 3 ln 7= − = 2p
c)
( ) ( ) ( )
0 2
1
01
2 1
f x f x dx f x
−
′ = =
−
∫ 3p
( ) ( )( ) ( )2 21 1
0 1 1 1 0
2 2
f f= − − = − = 2p