Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2016 – sesiunea specială, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați rația progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 3 5b = şi 4 10b = .
5p 2. Determinați valoarea maximă a funcției [ ]: 1,5f → ℝ , ( ) 3f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 12 2x x+ = + .
5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3, 4A şi ( )1,0B . Determinaţi ecuația dreptei
AB .
5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , în care 6AB = şi 3
C
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1
2 1 2
x x
A x x x
+ − 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )A x A y A x y xy= + − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x , 1x ≠ , pentru care matricea ( )A x este egală cu inversa ei.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 2 6 6 21x y xy x y= − − + .
5p a) Arătați că ( )( )2 3 3 3x y x y= − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Arătați că 1 2 3 4 3=   .
5p c) Determinați numerele reale x , pentru care x x x x=  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) lnf x x x= − .
5p a) Arătaţi că ( ) 1
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Demonstrați că funcţia f este convexă pe intervalul ( )0,+∞ .
5p c) Demonstrați că ln 1x x≤ − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
1
1
f x x
= + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
1 2
0
1 1x f x dx+ =∫ .
5p b) Demonstrați că ( )
1 2
0
1 4
x f x dx
π
= −∫ .
5p c) Determinaţi numerele naturale n , ştiind că ( )
1
2 ln 2
n
n
x f x dx
+
=∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4
3
10
5
b
q b
= = = 3p
2= 2p
2. 5 3 2x x≤ ⇒ − ≤ 2p
( ) 2f x ≤ , deci valoarea maximă a funcției este 2 3p
3. ( )22 12 2 4 8 0x x x+ = + ⇒ − = 3p
2x = , care verifică ecuația 2p
4. 2
7
7!
2! 5!
C = =
⋅ 3p
21= 2p
5. 0 1
4 0 3 1
y x− −
=
− − 3p
2 2y x= − 2p
6. 6
2
sin 3
2 2
AB R R
C = ⇒ = =
⋅ 3p
2 3= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 0 1 0
0 det 0
0 1 0 1
A A
 
= ⇒ = = 
  2p
1 0 1= − = 3p
b) ( ) ( ) 1 1 1
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
x x y y x y xy y x xy
A x A y x x y y x y xy y x xy
+ − + − + + − − − +    
= = =    
− − + − − − +     3p
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2 1 2
x y xy x y xy A x y xy
x y xy x y xy
 + + − − + − 
= = + − 
+ − − + − 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( ) 2A x A x I= și, cum ( )2 0I A= , obținem ( ) ( )2 0A x x x A+ − = 3p
2
2 0 0x x x− = ⇔ = sau 2x = 2p
2.a) 2 6 6 18 3x y xy x y= − − + + =
 2p
( ) ( ) ( )( )2 3 6 3 3 2 3 3 3x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( )( )1 2 3 4 1 2 3 4= =
 
 
 
 
 
 3p
3 4 3= =
 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ( )2
2 3 3x x x= − +
 , ( )3
4 3 3x x x x= − +
 
 2p
( )3 5
4 3 3 2
x x x− + = ⇔ = sau 3x = sau 7
2
x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )' ' ln 'f x x x= − = 2p
1 1
1 x
x x
−
= − = , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) ( ) 2
1
''f x x
= , ( )0,x ∈ +∞ 2p
( )'' 0f x > , pentru orice ( )0,x f∈ +∞ ⇒ este convexă pe intervalul ( )0,+∞ 3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = 1p
( ] ( )0,1 0x f x′∈ ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]0,1 1p
[ ) ( )1, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 1p
Cum ( )1 1f = , obținem ( ) 1f x ≥ , deci ln 1x x≤ − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a)
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2
2
0 0 0
11
1 1 1
1 0
x f x dx x dx dx x
x
+ = + ⋅ = = =
+
∫ ∫ ∫ 3p
1 0 1= − = 2p
b)
( )
1 1 1 12
2
2 2
0 0 0 0
1
1
1 1
x
x f x dx dx dx dx
x x
= = − =
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ 2p
1 1
arctg 1 arctg1 1 40 0
x x
π
= − = − = − 3p
c)
( ) ( ) ( )21 1 2
2 2
1 1 12
2 ln 1 ln
1 1
n n
n n
n nx
x f x dx dx x
x nn
+ + + + +
= = + =
+ +
∫ ∫ 3p
( )2
2
2
1 1
ln ln 2 2 0 0
1
n n n n
n
+ + = ⇔ − = ⇔ =
+ sau 2n = 2p