Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2016 – sesiunea august–septembrie, 24 august 2016, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați al doilea termen al progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , ştiind că 1 4b = și rația 2q = .
5p 2. Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )3 3log 2 1 log 5x + = .
5p 4. Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii { }0, 1, 2, 3, 4 .
5p 5. Determinați numărul real m , știind că punctul ( )1,0M aparține dreptei de ecuație 2y mx= − .
5p 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , în care 2AB = și 4
C
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2 1
1 2
a
A a a
− 
=  
− 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 1A = − .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2 0A a A a A+ − = , pentru orice număr real a .
5p c) Determinați numărul real x , știind că ( ) ( ) ( )2 1A x A x A= .
2. Se consideră polinomul 3 2
4 4f X X mX= − + + , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( )1 1 0f f− + = , pentru orice număr real m .
5p b) Pentru 1m = − , arătați că polinomul f se divide cu polinomul 2 1X − .
5p c) Determinați numărul real m , știind că 2 2 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1
4 0x x x x x x
 
+ + − + + = 
 
, unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 2 1
1
x x
f x x
− +
= − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
( )2
2
'
1
x x
f x
x
−
=
−
, ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstraţi că ( ) 7
2
f e < .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
x
e
f x x
= .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2 2
1
1x f x dx e e= −∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe intervalul [ )2, +∞ .
5p c) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii
1x = și 2x = are aria mai mică sau egală cu ( )1e e − .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 4 2b b q= ⋅ = ⋅ = 3p
8= 2p
2. 1Vx = 2p
1Vy = − 3p
3. 2 1 5 2 4x x+ = ⇒ = 3p
2x = , care verifică ecuația 2p
4. 2
5
5!
2! 3!
C = =
⋅ 3p
10= 2p
5. 0 1 2m= ⋅ − 3p
2m = 2p
6. 2
2
sin 2
2 2
AB R R
C = ⇒ = =
⋅ 3p
1= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
0 1 0 1
2 det 2
1 0 1 0
A A
 
= ⇒ = = 
  2p
0 1 1= − = − 3p
b) ( ) ( ) 2 1 2 1 4 2
1 2 1 2 2 4
a a
A a A a a a
− +     
+ − = + = =     
− +      3p
( )
2 1
2 2 0
1 2 A
 
= = 
 
, pentru orice număr real a 2p
c)
( ) ( ) 2
2
4 5 4 2
4 2 4 5
x x x
A x A x
x x x
 − + −
 =  − − + 
, ( ) 2 2
2 1 2 2
A  
=  
  3p
2 4 5 2
4 2 2
x x
x
 − + =
 − =
, de unde obținem 1x = 2p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 4 1 1 4 1f m m− = − − ⋅ − + ⋅ − + = − − 2p
( ) ( ) ( )3 2
1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 1 0f m m f f m m= − ⋅ + ⋅ + = + ⇒ − + = − − + + = , pentru orice număr
real m 3p
b) ( ) ( )1 1 1 0m f f= − ⇒ − = = 3p
1X − divide f și 1X + divide f , deci polinomul f se divide cu polinomul 2 1X − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 4x x x+ + = , 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 16 2x x x x x x m x x x m+ + = ⇒ + + = − 3p
Cum 1 2 3 4x x x = − și ( )1 2 2 3 3 12 2 2
1 2 3
1 2 3
4 4
16 2 16
4
x x x x x x m
x x x m m
x x x
+ +
+ + − = − − = −
− , obținem
16m =
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2 1 1 1
'
1
x x x x
f x
x
− − − − +
= =
−
3p
( )
( )
( )
2
2 2
22
1 1
x xx x
x x
−−
= =
− −
, ( )1,x ∈ +∞ 2p
b) ( )2 3f = , ( )' 2 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )2 ' 2 2y f f x− = − , adică 3y = 3p
c) ( )' 0f x > , pentru orice ( )2,x f∈ +∞ ⇒ este strict crescătoare pe ( )2, +∞ 2p
Cum 2 3e< < şi ( ) 7
3 2
f = , obținem ( ) 7
2
f e < 3p
2.a)
( )
2 2
2
1 1
2
1
x x
x f x dx e dx e= = =∫ ∫ 3p
( )2 1e e e e= − = − 2p
b) F este o primitivă a funcţiei ( ) ( )'f F x f x⇒ = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
( ) ( )
3
2
'' 0
x
e x
F x x
−
= ≥ , pentru orice [ )2,x ∈ +∞ , deci funcția F este convexă pe [ )2, +∞ 3p
c)
( )
2 2
2
1 1
x
e
f x dx dx
x
= =∫ ∫
A 2p
Cum 2
2
1
1 1 1x x x
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ , obţinem 2
x xe e
x ≤ , deci
2
1
x
e dx≤ ∫
A , adică ( )1e e≤ −
A 3p