Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2016 – varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )
2 2
2 3 2 3 22− + + = .
5p 2. Calculați produsul ( ) ( ) ( )1 0 1f f f− , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
3 3log 6 6 log 1x x− + = .
5p 4. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 5, 7 , 8 și 9 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,0A − și ( )1, 2B . Determinați ecuația dreptei d
care trece prin punctul O și este paralelă cu dreapta AB .
5p 6. Arătați că 3 3
sin sin 0
2 2
x x
π
π   
+ − − =   
    , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2
1
0 1 2
0 0 1
x x x
A x x
 +
 
=  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )A x A y A x y= + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numărul real a , 1a ≠ − , știind că 1 1 1
1 2 2 3 2016 2017 1
a
A A A A a
       
⋅ ⋅ =       
⋅ ⋅ ⋅ +       
… .
2. Se consideră polinomul 4 2 2f X mX= + + , unde m este număr real.
5p a) Determinați numărul real m , știind că ( )1 0f = .
5p b) Demonstrați că ( )2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 42 0x x x x x x x x x x x x x x x x+ + + + + + + + + = , pentru orice
număr real m , unde 1 2 3, ,x x x și 4x sunt rădăcinile polinomului f .
5p c) Pentru 3m = , descompuneți polinomul f în factori ireductibili în [ ]Xℝ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1
x
f x
x
=
+
.
5p a) Arătaţi că ( ) ( )2 2
1
1 1
f x
x x
′ =
+ +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcţiei f .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , ( )1,1a ∈ − , ecuația ( )f x a= are soluție unică.
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1x
f x e x= − .
5p a) Arătați că ( )
2
0
0x
f x e dx− =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii
1x = şi 2x = are aria egală cu e .
5p c) Demonstrați că ( )( )
1
lim 0x
n n
f x e dx
→+∞ −
+ =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2
2 3 11 6 2− = − 2p
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 11 6 2 2 3 2 3 11 6 2 11 6 2 22+ = + ⇒ − + + = − + + = 3p
2. ( )1 0f − = 3p
( ) ( ) ( )1 0 1 0f f f− = 2p
3. 2 2
6 6 1 6 5 0x x x x− + = ⇒ − + = 2p
1x = sau 5x = , care verifică ecuația dată 3p
4. Cifra unităților este 8 2p
Cum cifrele sunt distincte, cifra zecilor poate fi aleasă în 3 moduri și, pentru fiecare alegere
a acesteia, cifra sutelor poate fi aleasă în câte 2 moduri, deci se pot forma 3 2 1 6⋅ ⋅ = astfel
de numere
3p
5. 1ABm = și 1d AB dm m m= ⇒ = 3p
Ecuația dreptei d este y x= 2p
6. 3 3 3 3 3
sin sin 3 sin 3 sin sin
2 2 2 2 2
x x x x x
π
π
π
π
π
π
π
π
            
− = − − = − + = − + = +            
             3p
3 3 3 3
sin sin sin sin 0
2 2 2 2
x x x x
π
π
π
π       
+ − − = + − + =       
        , pentru orice număr real x 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 2 1 1 2
1 0 1 2 det 1 0 1 2
0 0 1 0 0 1
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 2
0 1 2 0 1 2 0 1 2 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
x x x y y y y x y y xy x x
A x A y x y y x
    + + + + + + +
    
= = + =    
    
    
3p
( ) ( )
( ) ( )
2
1
0 1 2
0 0 1
x y x y x y
x y A x y
 + + + +
 
= + = + 
  
 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 2016 2017 1 2 2 3 2016 2017
A A A A
       
⋅ ⋅ = + + + =       
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅       
… …
1 1 1 1 1 1 2016
1 2 2 3 2016 2017 2017
A A
   
= − + − + + − =   
   
…
3p
2016 2016
2017 1
a
A A a
a
   
= ⇔ =   
+    2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) 4 2
1 0 1 1 2 0f m= ⇔ + ⋅ + = 2p
3m = − 3p
b) 1 2 3 4 0x x x x+ + + = 2p
( )22 2 2 2
1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 42 2 2 2 2 2 0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x+ + + + + + + + + = + + + = ,
pentru orice număr real m 3p
c) ( )( )4 2 2 2
3 2 1 2f X X X X= + + = + + 3p
Polinoamele 2 1X + și 2 2X + au coeficienți reali, au gradul 2 și nu au rădăcini reale, deci
sunt ireductibile în [ ]Xℝ 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
2
2
2
2
1
2 1' 1
x x
x
xf x x
⋅
+ −
+= =
+
3p
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1
x x
x x x x
+ −
= =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 0f = , ( )' 0 1f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică y x= 3p
c) ( ) 0f x′ > pentru orice x ∈ ℝ , deci f este strict crescătoare pe ℝ 2p
Cum ( ) ( )
2 2
lim lim 1, lim lim 1
1 1
1 1
x x x x
x x
f x f x
x x
x x
→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
= = − = =
− + +
și funcția f este
continuă, atunci pentru orice ( )1,1a ∈ − , ecuația ( )f x a= are soluție unică
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 0 0
2
1 1 2 0
x x x x
f x e dx e x e dx x dx x− −  
= − = − = − =  
 
∫ ∫ ∫ 3p
4 2 0
2
= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1 2 1
x x
f x dx x e dx x e= = − = − =∫ ∫
A 3p
( )0 1 e e= − − = 2p
c)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1x x x n
n n
f x e dx x e dx x e n e
n
−
− −
+ = = − = +
−
∫ ∫ 3p
( )( )
1 1
lim lim 0x
nn n
n
n
f x e dx e→+∞ →+∞
−
+
+ = =∫ 2p