Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2016 – sesiunea specială, varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul real a , știind că numerele 24, 1020 și a sunt, în această ordine, termeni
consecutivi ai unei progresii aritmetice.
5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că parabola asociată funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x x m= + +
este tangentă axei Ox .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia
2 3
1 27
3
x−
  = 
  .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, , 25A = … , acesta să
fie număr rațional.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0, 1A , ( )2, 1B − − și ( )2, 3C . Determinaţi
ecuaţia dreptei care trece prin punctul A şi este perpendiculară pe dreapta BC .
5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC , în care ( ) 45m A = °∢ şi
2 2BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2
1
1 1 1
1 1
a a
A a
a
 
 
= − 
 −
 
și sistemul de ecuații
2 0
2
4
x ay a z
x y z
x y az
 + + =
 − + =
 + − = −

, unde a este
număr real.
5p a) Arătaţi că ( )( )det 0 1A = − .
5p b) Demonstrați că matricea ( )A a este inversabilă, pentru orice număr real a , 1a ≠ − și 1
3
a ≠ .
5p c) Determinați numerele reale a , pentru care sistemul are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z , iar 0 0x y= .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 2 2 2x y xy x y∗ = − + + − .
5p a) Arătați că ( )( )2 2 2x y x y∗ = − − − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați numerele reale x , pentru care 1x x∗ = .
5p c) Demonstrați că, dacă m , n și p sunt numere întregi astfel încât 2m n p∗ ∗ = , atunci produsul
numerelor m , n și p este divizibil cu 2.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ln 1x
f x e x= + + .
5p a) Arătați că ( ) 1x
f x e x
′ = + , ( )0,x ∈ + ∞ .
5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ecuația ( ) 0f x = are soluție unică în intervalul ( )0,1 .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Pentru fiecare număr natural n , se consideră numărul
1 1
0 3
n
n
x
I dx
x
+
= +∫ .
5p a) Arătaţi că 0
3
1 3ln 4
I = + .
5p b) Demonstraţi că 1
1
3 2
n nI I n
+ + = + , pentru orice număr natural n .
5p c) Arătaţi că 1
lim 4
n
n nI
→ +∞ = .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 24 2 1020a+ = ⋅ 3p
2016a = 2p
2. 16 4m∆ = − 3p
16 4 0 4m m− = ⇒ = 2p
3. ( )2 31 3
3 3 2 3 3
x
x
−− = ⇔ − + = 3p
0x = 2p
4. Mulțimea A are 25 de elemente, deci sunt 25 de cazuri posibile 1p
Sunt 5 numere raționale în mulțimea A , deci sunt 5 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 5 1
nr. cazuri posibile 25 5
p = = = 2p
5. 1d BCd BC m m⊥ ⇒ ⋅ = − și, cum 1BCm = , obținem 1dm = − 2p
Deoarece A d∈ , ecuația dreptei d este ( )A d Ay y m x x− = − , adică 1y x= − + 3p
6. 2 2
2
sin 2
2 2
BC R R
A = ⇒ = =
⋅ 3p
2= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 det 0 1 1 1
1 1 0 1 1 0
A A
 
 
= − ⇒ = − = 
 
 
2p
0 0 0 0 1 0 1= + + − − − = − 3p
b)
( )( ) ( )( )
2
1
det 1 1 1 3 1 1
1 1
a a
A a a a
a
= − = − +
−
2p
Pentru orice număr real a , 1a ≠ − și 1
3
a ≠ , obţinem ( )( )det 0A a ≠ , deci matricea ( )A a
este inversabilă
3p
c) Sistemul are soluție unică, deci 1a ≠ − și 1
3
a ≠ ; pentru fiecare număr real a , 1a ≠ − și
1
3
a ≠ , obținem ( )( )0
4
3 1 1
a
x a a
−
= − + şi ( )
0
2 2 3
3 1
a
y a
−
= −
2p
Cum 2
0 0 3 2 0x y a a= ⇔ − − = , obținem 2
3
a = − sau 1a = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 2 2 4 2x y xy x y∗ = − + + − + = 2p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y y x y= − − + − + = − − − , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( )2
2 2x x x∗ = − − 2p
( ) ( )2 2
2 2 1 2 1 1x x x− − = ⇔ − = ⇔ = sau 3x = 3p
c) Cum ( )( )( )2 2 2 2m n p m n p∗ ∗ = + − − − , obținem ( )( )( )2 2 2 0m n p− − − = 2p
2m = sau 2n = sau 2p = , deci produsul numerelor m , n și p este divizibil cu 2 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )' '' 'ln 1x
f x e x= + + = 2p
1 1
0x x
e e
x x
= + + = + , ( )0,x ∈ + ∞ 3p
b) ( )1 1f e= + , ( )' 1 1f e= + 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică ( )1y e x= + 3p
c) ( )' 0f x > pentru orice ( )0,x ∈ + ∞ , deci f este strict crescătoare pe ( )0,+∞ 2p
Cum ( ) ( )0 0
0 0
lim lim ln 1x
x x
x x
f x e x
→ →
> >
= + + = − ∞ , ( )1 0f > și f este continuă, atunci ecuația
( ) 0f x = are soluție unică în intervalul ( )0,1
3p
2.a)
( )( )
1 1
0
0 0
13
1 3ln 3
3 3 0
x
I dx dx x x
x x
 
= = − = − + = 
+ + 
∫ ∫ 3p
3
1 3ln4 3ln3 1 3ln 4
= − + = + 2p
b) ( )1 1 112 1 1
1
0 0 0
33
3 3 3
nn n n
n n
x xx x
I I dx dx x dx
x x
++ + +
+
++
+ = = = =
+ +∫ ∫ ∫ 3p
2 1 1
2 20
n
x
n n
+
= =
+ + , pentru orice număr natural n 2p
c)
( ) ( ) ( )
1 1 1 11 2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 6 1 9' 1
3 3 3 40 3 3
n n n n n
n
x x x x x
nI n dx x dx x x dx x dx
x x x x x
+  +  = = = ⋅ − ⋅ = − −
 + + + + + 
∫ ∫ ∫ ∫
pentru orice număr natural nenul n
2p
Cum
( )
1 1
2
0 0
9 1
0 1 13
n n
x dx x dx nx
 
 ≤ − ≤ =
  ++ 
∫ ∫ pentru orice număr natural nenul n , obţinem
1
lim 4
n
n
nI
→+∞
=
3p