Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2016 – sesiunea specială, 24 mai 2016, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 01
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 01
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi al patrulea termen al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 1a = și 2 4a = .
5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul ( )1,A a aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2 4f x x= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2
9 3x x− −
= .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie mai mic sau egal cu 30.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( )0,3A . Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin
punctul A şi are panta egală cu 1.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu 10AB = , 10AC = și 12BC = . Arătaţi că 4
sin 5
B = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1
1 1
1 1
m
A m m
m
− 
 
= − 
 − 
și sistemul de ecuații
1
1
mx y z
x my z
x y mz m
− + + = −
 − + = −
 + − =
, unde m
este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 2A = .
5p b) Demonstrați că matricea ( )A m este inversabilă, pentru orice număr real m , 1m ≠ − și 2m ≠ .
5p c) Pentru 2m = , determinați soluția ( )0 0 0, ,x y z a sistemului pentru care 0 0 02 3 9x y z+ + = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă
2 10 10 45x y xy x y∗ = − + + − .
5p a) Arătați că ( )( )2 5 5 5x y x y∗ = − − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Arătați că 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = .
5p c) Determinaţi numerele naturale m și n , pentru care 27m n∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 8lnf x x x= − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )2 2 2
' x x
f x x
− +
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Demonstraţi că ecuaţia ( ) 0f x = are două soluţii reale distincte.
2. Se consideră funcţia ( ): 4,f +∞ → ℝ , ( ) ( )
1
4
f x x x
= − .
5p a) Arătați că ( ) ( )
10
5
4 ln 2x f x dx− =∫ .
5p b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției
[ ]: 5,6g → ℝ , ( ) ( )g x x f x= .
5p c) Demonstraţi că ( )
1
2
lim 1
n
n n
n f x dx
+
→+∞
 
  =
 
 
∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 01
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 01
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 1 3r = − = 2p
4 1 3 3 10a = + ⋅ = 3p
2. ( ) 2
1 1 4f a a= ⇒ + = 3p
5a = 2p
3. ( )2 2 2
3 3 2 4 2
x x x x
− −
= ⇔ − = − 3p
2x = 2p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
Sunt 21 de numere naturale de două cifre care sunt mai mici sau egale cu 30, deci sunt 21 de
cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 21 7
nr. cazuri posibile 90 30
p = = = 2p
5. ( )3 1 0y x− = ⋅ − 3p
3y x= + 2p
6. 8AD = , unde AD BC⊥ , D BC∈ 2p
4
sin 5
AD
B AB
= = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 det 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
0 1 1 0 0 0 2= + + − − − = 3p
b)
( )( ) ( )( )2
1 1
det 1 1 2 1
1 1
m
A m m m m
m
−
= − = − +
−
3p
Pentru orice număr real m , 1m ≠ − și 2m ≠ , obţinem ( )( )det 0A m ≠ , deci matricea ( )A m
este inversabilă 2p
c) Pentru 2m = , sistemul este compatibil nedeterminat și soluțiile sistemului sunt de forma
( )1 ,1 ,
α α α+ + , unde
α ∈ R 3p
Cum ( )0 0 02 3 9 1 2 1 3 9 1x y z
α
α α α+ + = ⇔ + + + + = ⇔ = , soluția sistemului care verifică
relația este ( )2, 2,1 2p
2.a) 2 10 10 50 5x y xy x y∗ = − + + − + = 2p
( ) ( ) ( )( )2 5 10 5 5 2 5 5 5x y y x y= − − + − + = − − − + , pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 01
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 5 5 5x y∗ = ∗ = , pentru x și y numere reale 2p
( )( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 5∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = 3p
c) ( )( ) ( )( )2 5 5 5 27 5 5 11m n m n− − − + = ⇔ − − = − 2p
Cum m și n sunt numere naturale, obținem 4m = , 16n = sau 16m = , 4n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 8
2f x x x
′ = − = 2p
( )( )2 2 2 22 8 x xx
x x
− +−
= = , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) Cum ( )0,x ∈ +∞ , ( )' 0 2f x x= ⇔ = 1p
( ] ( )0, 2 0x f x′∈ ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]0, 2 2p
[ ) ( )2, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe [ )2, +∞ 2p
c) ( ) ( )2
0 0
0 0
lim lim 8ln
x x
x x
f x x x
→ →
> >
= − = +∞ , ( ) 2
2
8ln
lim lim 1
x x
x
f x x x→+∞ →+∞
 
= − = +∞ 
  2p
Cum ( )2 0f < , ecuaţia ( ) 0f x = are două soluţii reale distincte 3p
2.a)
( ) ( )
10 10
5 5
101
4 ln 5
x f x dx dx x
x
− = = =∫ ∫ 3p
ln10 ln 5 ln 2= − = 2p
b)
( ) 1
4
g x x
= − , deci ( ) ( )
6 6
2
2
5 5
1
4
V g x dx dx
x
π
π= = =
−
∫ ∫ 2p
61
4 25x
π
π  
= − = 
−  3p
c)
Pentru 4n > , ( ) ( )
1 1 1 2
2
1 1 1 1 1 3
ln
4 4 4 4 3 4
n n n
n n n
n n
f x dx dx dx
x x x x n n
+ + + − 
= = − = 
− −  − −
∫ ∫ ∫ 2p
( )
( )
2
2 2
4
3 4 4 3 41 42
2
4
lim lim ln 1 ln 1
3 4
n
n n n nn
n n
n
n f x dx e
n n
− − − −+
→+∞ →+∞
 
    
  = + = =    − −     
∫ 3p