Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2016 – sesiunea august–septembrie, 24 august 2016, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 2016a = și rația 2r = .
5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul ( )1, 2A aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( )f x x m= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 6 3 4
2 4x x− −
= .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea { }1, 2,3, , 40A = … , acesta să conţină
cifra 4.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 2A și ( )4,5B . Determinaţi ecuaţia dreptei
AB .
5p 6. Dacă 0, 2
x
π 
∈ 
  și 4
sin 5
x = , arătați că 24
sin 2 25
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1
1 1
1 1 2
a
A a a
 
 
= − 
 − 
și sistemul de ecuații
1
1
2 0
x ay z
ax y z
x y z
+ + =
 + − = −
 + − =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 2A = − .
5p b) Demonstrați că matricea ( )A a este inversabilă, pentru orice număr real a , 1a ≠ − și 1a ≠ .
5p c) Determinați numerele întregi a , pentru care sistemul are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z , iar 0x , 0y și
0z sunt numere întregi.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3 3 3 2x y xy x y= + + + .
5p a) Arătați că ( )( )3 1 1 1x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3f x x= + . Demonstrați că ( ) ( ) ( )f x y f x f y= , pentru
orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale a , pentru care 2015
de 2016 ori
3 1
a
a a a = − …  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 1
ln 1
x
f x x
+
= − .
5p a) Arătaţi că ( ) 1 1
' 1 1
f x x x
= −
+ − , ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Demonstrați că funcția f este convexă pe ( )1, +∞ .
5p c) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3
lim ' 2 ' 3 ' 4 ' 2n
f f f f n
→ +∞
+ + + …+ = − .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
f x x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
2
1
5
2
x f x dx =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )( )
2
1
ln 4
e
f x x x dx− =∫ .
5p c) Determinați numărul real a , 1a > , știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox
a graficului funcției [ ]: 1,g a → ℝ , ( ) ( )g x f x= este egal cu 7
ln 2
a
π  + 
  .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 2016 2 2a = + ⋅ = 3p
2020= 2p
2. ( )1 2 1 2f m= ⇒ + = 3p
1m = 2p
3. ( )3 44 6 2
2 2 4 6 6 8
xx x x
−− = ⇔ − = − 3p
1x = 2p
4. Mulțimea A are 40 de elemente, deci sunt 40 de cazuri posibile 1p
Numerele din mulțimea A care conțin cifra 4 sunt 4, 14, 24, 34 și 40, deci sunt 5 cazuri
favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 5 1
nr. cazuri posibile 40 8
p = = = 2p
5. ( )
5 2
2 1
4 1
y x
−
− = −
− 3p
1y x= + 2p
6. Cum 0, 2
x
π 
∈ 
  , obţinem 2 3
cos 1 sin 5
x x= − = 3p
4 3 24
sin 2 2sin cos 2 5 5 25
x x x= = ⋅ ⋅ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 det 0 0 1 1
1 1 2 1 1 2
A A
 
 
= − ⇒ = − = 
 − − 
2p
( )2 0 0 1 1 0 2= − + + − − − − = − 3p
b)
( )( ) ( )( )
1 1
det 1 1 2 1 1
1 1 2
a
A a a a a= − = − +
−
3p
Pentru orice număr real a , 1a ≠ − și 1a ≠ , obţinem ( )( )det 0A a ≠ , deci matricea ( )A a
este inversabilă 2p
c) Sistemul are soluție unică, deci 1a ≠ − și 1a ≠ ; pentru fiecare număr a , 1a ≠ − și 1a ≠ ,
soluția sistemului este de forma 1 1
, ,0
1 1a a
 
− 
− − 
3p
Cum a este număr întreg, 1 1
1 a
a ∈ ⇔ −
− ℤ este divizor al lui 1, deci 0a = sau 2a = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 3 3 3 3 1x y xy x y= + + + − = 3p
( ) ( ) ( )( )3 1 3 1 1 3 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 2p
b) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )3 3 3 3 1 1 1 3 9 1 1f x y x y x y x y= + = + + − + = + + =  3p
( )( ) ( ) ( )3 3 3 3x y f x f y= + + = , pentru orice numere reale x și y 2p
c)
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2016 20162015 2015 2016
de 2016 ori
... 3 1 3 3 1 3 3 3
a
f a a a f f a f a f a
 
  = − ⇔ = ⋅ − + ⇔ = ⇔ = −
 
 
  
sau ( ) 3f a =
3p
2a = − sau 0a = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) Cum ( )1,x ∈ +∞ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )'ln 1 ln 1 ln 1 ln 1f x x x f x x x′= + − − ⇒ = + − − = 2p
( )( ) ( )( ) 1 1' 'ln 1 ln 1 1 1
x x x x
= + − − = −
+ − 3p
b) ( ) ( ) ( )2 2
4
"
1 1
x
f x
x x
=
− + 2p
Pentru orice ( )1,x ∈ +∞ , ( )" 0f x > , deci funcția f este convexă pe ( )1, +∞ 3p
c) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1
lim ' 2 ' 3 ' lim 3 1 4 2 5 3 1 1n n
f f f n n n→+∞ →+∞
        
+ +…+ = − + − + − +…+ − =        
+ −         3p
1 1 1 1 3
lim 1 2 1 2n n n→ +∞
 
= − − + + = − 
+  2p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
1 1
2
1 2 1
x
x f x dx x dx x
 
= + = + =  
 
∫ ∫ 3p
3 5
4 2 2
= − = 2p
b)
( )( )
2 2 22
1 1 1
1 1
ln ln 2 ln 2
1
e e ee
f x x x dx x dx x x dx
x x
− = ⋅ = ⋅ − =∫ ∫ ∫ 3p
( ) 2
2 ln 4 4 4 4 4
1
e
x x x e e= ⋅ − = − + = 2p
c)
( ) 2 2
2
1 1
1 5
2 2 ln 2 ln
2 2 21
a a ax a
V g x dx x dx x x a a
x
π
π
π
π
    
= = + + = + + = + + −             
∫ ∫ 3p
2 25 7
2 ln ln 4 12 0
2 2 2
a a a a a a
π
π
   
+ + − = + ⇔ + − =       
și, cum 1a > , obținem 2a = 2p