Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2016 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi numerele naturale a , b şi c , știind că 2016 2 3 7a b c
= ⋅ ⋅ .
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
4 3f x x= − . Determinaţi abscisele punctelor care au ordonata
egală cu 1 și aparțin graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 10 2 4x x x+ − = − .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă suma cifrelor mai mică sau egală cu 10.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,2A − şi ( )3,5B . Determinaţi coordonatele
simetricului punctului A faţă de punctul B .
5p 6. Perimetrul triunghiului dreptunghic ABC este egal cu 72. Determinaţi lungimea ipotenuzei BC ,
știind că sin 0,8C = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y xy x y= + + .
5p 1. Calculaţi ( )2 2−  .
5p 2. Arătați că ( )( )1 1 1x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1x x = − .
5p 4. Verificați dacă legea de compoziţie „ ” este asociativă.
5p 5. Demonstraţi că numărul n n este multiplu de 8, pentru orice număr natural par n .
5p 6. Dați un exemplu de două numere iraționale a și b , pentru care a b ∈ ℕ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricea ( ) 1
1 2
x x
A x − 
=  
 
, unde x este număr real.
5p 1. Calculaţi ( )( )det 2A .
5p 2. Arătaţi că ( ) ( ) ( )1 3 2 2A A A+ = .
5p 3. Determinați numărul natural n , pentru care ( )( )det 1 2A n n= − .
5p 4. Determinați valorile reale ale lui x , pentru care ( )( )2det 2 0xA x I− ≥ , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p 5. Demonstrați că matricea ( )2
A x este inversabilă, pentru orice număr real x .
5p 6. Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M , pentru care ( ) ( )2 3 1 4 2X A A+ = .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 2 1
2016 2 3 7= ⋅ ⋅ 2p
5a = , 2b = , 1c = 3p
2. ( ) 2
1 1 0f x x= ⇔ − = 3p
1x = − sau 1x = 2p
3. 2
3 10 4 5 6 0x x x x+ = + ⇒ + + = 3p
3x = − sau 2x = − , care verifică ecuația 2p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
Sunt 54 de numere naturale de două cifre care au suma cifrelor mai mică sau egală cu 10, deci
sunt 54 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 54 3
nr. cazuri posibile 90 5
p = = = 2p
5. B este mijlocul segmentului AC , unde ( ),C CC x y este simetricul punctului A faţă de
punctul B , deci 1
3 7
2
C C
x x
− +
= ⇔ = 3p
2
5 8
2
C C
y y
+
= ⇔ = 2p
6. 4
sin 5
AB
C AB BC
BC
= ⇒ = 1p
2 2 2 3
5
AB AC BC AC BC+ = ⇒ = 2p
4 3 72 30
5 5
BC BC BC BC+ + = ⇔ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2− = − ⋅ + − + =
 3p
2= − 2p
2. 1 1x y xy x y= + + + − =
 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( )( ) ( )( )2 2
1 1 1 1 1 1 0x x x x+ + − = − ⇔ + + = 3p
1x = − 2p
4. ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1x y z x y z x y z x y z= + + − = + + − + + − = + + + −
 
 
 2p
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1x y z x y z x y z x y z= + + − = + + + − + − = + + + − =
 
 

( )x y z= 
 
 , pentru orice numere reale x , y și z , deci legea „ ”
 este asociativă 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
5. ( )2 , 4 1n k k n n k k= ∈ ⇒ = +ℕ 
 3p
Deoarece k și 1k + sunt numere naturale consecutive, numărul ( )1k k + este multiplu de 2,
deci numărul n n
 este multiplu de 8 2p
6. ( )( ) ( )( ) *
1 1 1 1 1a b a b a b= + + − ∈ ⇒ + + ∈
 ℕ ℕ 3p
De exemplu, 2 1a = − și 2 2 1b = − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
2 1 2 1
2 det 2
1 2 1 2
A A
 
= ⇒ = = 
  2p
3= 3p
2. ( ) ( ) 1 0 3 2 4 2
1 3 1 2 1 2 2 4
A A      
+ = + = =     
      3p
( )
2 1
2 2 2
1 2 A
 
= = 
  2p
3. ( ) ( )( )
1 det 1
1 2
n n
A n A n n
− 
= ⇒ = + 
  2p
Deoarece n ∈ ℕ , 1 1 2n n+ = − implică 1 1 2n n+ = − , de unde obținem 0n = , care convine 3p
4.
( ) ( )( ) ( )( )( )
2 2
2 2
2
2 det 2 1 2 2
2 2
x x x
xA x I xA x I x x x
x x
 − −
− = ⇒ − = − − +  − 
3p
( )( )( ) [ ] [ )1 2 2 0 2,1 2,x x x x− − + ≥ ⇔ ∈ − ∪ +∞ 2p
5.
( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2 21 1
det 1
1 2 1 2
x x x x
A x A x x
 − −
= ⇒ = = +  
 
3p
2 1 0x + ≠ pentru orice număr real x , deci ( )2
A x este inversabilă pentru orice număr real x 2p
6. 1 0 2 1 3 0 8 4
2 3 4 2
1 2 1 2 3 6 4 8
X X
       
+ = ⇔ + =       
        3p
5 2
2
1 1
2
X
 
 
=  
  
 
2p