Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2016 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 1
1 1 1 0, 24
2 3 4
   
− − − >   
    .
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 6 3f x x x= − + . Arătați că ( ) ( )6f x f x− = , pentru orice
număr real x .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 4 5 1x x x+ − = − .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea { }, 50n n n∈ <ℕ , acesta să fie
număr rațional.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,3A − , ( )4, 4B − şi ( )3, 3C − . Verificaţi dacă
punctele A , B şi C sunt coliniare.
5p 6. Se consideră rombul ABCD cu 5AB = și 6BD = . Calculaţi ( )sin ADB∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 3x y x y∗ = + + .
5p 1. Calculați ( )2 4∗ − .
5p 2. Arătați că legea de compoziţie „ ”∗ este asociativă.
5p 3. Verificați dacă 3e = − este elementul neutru al legii de compoziţie „ ”∗ .
5p 4. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 9 3 93x x
∗ = .
5p 5. Demonstrați că numărul ( ) ( )2 22 2 1 2 2 1n n n n− − ∗ − − este pătrat perfect, pentru orice număr
natural n .
5p 6. Se consideră numărul real ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19a = ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − . Arătaţi că
( )288, 290a ∈ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră mulțimea { }5 5 ,a b a b  = + ∈ ℤ ℤ .
5p 1. Verificați dacă 1 5 ∈  ℤ .
5p 2. Demonstrați că 5x y  + ∈  ℤ , pentru orice , 5x y  ∈  ℤ .
5p 3. Demonstrați că 5xy  ∈  ℤ , pentru orice , 5x y  ∈  ℤ .
5p 4. Verificați dacă 1 9 4 5
9 4 5 = −
+ .
5p 5. Arătați că 1 5
9 4 5  ∈  − ℤ .
5p 6. Dați exemplu de un număr 5x  ∈  ℤ , astfel încât 1
0 17
x< < .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 1 1 2 3 1
1 1 1
2 3 4 2 3 4 4
   
− − − = ⋅ ⋅ = =   
    3p
0, 25 0, 24= > 2p
2. ( ) ( ) ( )2 2
6 6 6 6 3 36 12 36 6 3f x x x x x x− = − − − + = − + − + + = 3p
( )2 6 3x x f x= − + = , pentru orice număr real x 2p
3. ( )22 2 2
4 5 1 4 5 2 1x x x x x x x+ − = − ⇒ + − = − + 3p
1x = , care verifică ecuația 2p
4. Sunt 50 de elemente în mulțimea { }, 50n n n∈ <ℕ , deci sunt 50 de cazuri posibile 1p
Sunt 8 numere raționale în mulțimea { }, 50n n n∈ <ℕ , deoarece sunt 8 numere naturale
pătrate perfecte în mulțimea { }0, 1, 2, , 49… , deci sunt 8 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 8 4
nr. cazuri posibile 50 25
p = = = 2p
5. 1ABm = − 2p
1BC AB BCm m m= − ⇒ = , deci punctele A , B și C sunt coliniare 3p
6. ( ) 90m AOD = °∢ , unde { }O AC BD= ∩ și 3 4DO AO= ⇒ = 3p
( ) 4
sin 5
AO
ADB AD
= =∢ 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )2 4 2 4 3∗ − = + − + = 3p
1= 2p
2. ( ) ( ) ( )3 3 3 6x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = + + ∗ = + + + + = + + + 2p
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 6x y z x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = ∗ + + = + + + + = + + + = ∗ ∗ , pentru orice numere
reale x , y și z , deci legea de compoziție „ ”∗ este asociativă 3p
3. ( ) ( )3 3 3x x x∗ − = + − + = , pentru orice număr real x 2p
( ) ( )3 3 3x x x− ∗ = − + + = , pentru orice număr real x , deci 3e = − este elementul neutru al
legii de compoziție „ ”∗ 3p
4. ( )( )9 3 90 0 3 9 3 10 0x x x x
+ − = ⇔ − + = 3p
Deoarece 3 0x > , soluția ecuației este 2x = 2p
5. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 4 4 1n n n n n n n n n n− − ∗ − − = − − + − − + = − + = 3p
( )2
2 1n= − , care este pătrat perfect pentru orice număr natural n 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
6. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 1 1 1 1 5 5 1 13 1a = ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − = ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = 3p
( )17 289 288, 290= = ∈ 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 1 1 0 5= + 3p
Deoarece 0 ∈ ℤ și 1∈ ℤ , obținem 1 5 ∈  ℤ 2p
2. 5x a b= + , 5y c d= + , unde ( ) ( ), , , 5a b c d x y a c b d∈ ⇒ + = + + +ℤ 3p
Deoarece a c+ ∈ ℤ și b d+ ∈ ℤ , obținem 5x y  + ∈  ℤ 2p
3. 5x a b= + , 5y c d= + , unde ( ) ( ), , , 5 5a b c d xy ac bd ad bc∈ ⇒ = + + +ℤ 3p
Deoarece 5ac bd+ ∈ ℤ și ad bc+ ∈ ℤ , obținem 5xy  ∈  ℤ 2p
4.
( )( )
1 9 4 5
9 4 5 9 4 5 9 4 5
−
= =
+ − + 3p
( )22
9 4 5 9 4 5
9 4 5
−
= = −
− 2p
5. 1 9 4 5
9 4 5 = +
− 3p
Deoarece 9∈ ℤ și 4∈ ℤ , obținem 1 5
9 4 5
 ∈  − ℤ 2p
6. De exemplu, pentru 9 4 5x = − , avem 5x  ∈  ℤ și 1
9 4 5
x = + 3p
Deoarece 2 5 8 4 5 17 9 4 5< ⇒ < ⇒ < + , obținem 1 1
0 179 4 5
< <
+ , adică 1
0 17
x< < 2p