Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2016 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numerele reale a și b , pentru care 10
3 a ib
i = +
+ , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − . Calculați ( )( ) ( )( )
2016 2016
1 0f f+ .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 5
6 216x x− + = .
5p 4. Calculați în câte moduri poate fi aleasă o echipă formată din 5 elevi din totalul de 6 elevi pe care îi
are la dispoziţie un antrenor.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5,0A şi ( )2 1,0B m + , unde m este număr real.
Determinați numărul real m , știind că punctul ( )10,0C este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC în care 5AB = , 12AC = și 13BC = . Calculați cosC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea
1 2 4
0 1 3
0 0 1
A
 
 =  
 
.
5p a) Calculați det A .
5p b) Arătați că ( )( )( )3 3 3 3A I A I A I O− − − = , unde 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 =  
 
şi 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
 
 =  
 
.
5p c) Rezolvați ecuația matriceală
0
1
2
AX
 
 =  
 
, unde ( )3,1
x
X y
z
 
 = ∈
 
 
ℝ
M .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 2x y xy x y∗ = − − + .
5p a) Arătaţi că ( )( )1 1 1x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x şi y .
5p b) Calculaţi 0 1 2 3∗ ∗ ∗ .
5p c) Determinaţi numerele reale a , ştiind că 2016 2016a a∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1x
f x x
+
= .
5p a) Calculați ( ) ( )
2
2
lim 2x
f x f
x→
−
− .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstraţi că ( )
2017 2
2016 f x≤ ≤ , pentru orice [ ]1, 2016x ∈ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
3 2f x x x= − + .
5p a) Calculaţi ( )( )
2 2
0
3 2f x x dx+ −∫ .
5p b) Arătaţi că ( )( )
1 3 2
0
3 2 1x
f x x x x e dx e− + + = −∫ .
5p c) Demonstrați că ( )
1
1
0
a
a
f x dx
+
−
=∫ , pentru orice număr real a .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )
2 2
10 310 3
3 3
i i
i i
−
= = −
+ − 3p
3 3i a ib a− = + ⇒ = , 1b = − 2p
2. ( )1 0f = , ( )0 1f = − 2p
( )( ) ( )( ) ( )
2016 2016 20162016
1 0 0 1 1f f+ = + − = 3p
3. 2 3 5 3 2
6 6 3 2 0x x x x− + = ⇔ − + = 3p
1x = sau 2x = 2p
4.
( )
5
6
6!
5! 6 5 !
C = =
− 3p
6= 2p
5. Punctul C este mijlocul segmentului 5 2 1
10 2
m
AB + +
⇒ = 3p
2 6 20 7m m+ = ⇒ = 2p
6. ABC∆ este dreptunghic în A 2p
12
cos 13
C = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2 4
det 0 1 3 1 0 0 0 0 0
0 0 1
A = = + + − − − = 3p
1= 2p
b)
3
0 2 4
0 0 3
0 0 0
A I
 
 
− =  
 
 
2p
( )( ) ( )( )( )3 3 3 3 3 3
0 0 6 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
A I A I A I A I A I O
   
   − − = ⇒ − − − = =
   
   
3p
c) 1 2 4 0 2 4 0
0 1 3 1 3 1
0 0 1 2 2
x x y z
y y z
z z
+ +        
        = ⇔ + =
        
        
2p
2x = , 5y = − , 2z = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) 1 1x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x şi y 3p
b) ( ) ( )0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ = 3p
1= 2p
c) ( ) ( )2 2
1 1 2016 2015 1 1a a a a a a∗ = − + ⇒ ∗ ∗ = − + 2p
( ) ( )2 2
2015 1 1 2016 1 1 0a a a− + = ⇔ − = ⇔ = sau 2a = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
2
2
lim ' 2
2x
f x f f
x→
− =
− 2p
( ) 2
1
'f x x
= − și ( ) ( ) ( )
2
21 1
' 2 lim
4 2 4x
f x f
f x→
−
= − ⇒ = −
− 3p
b) ( )1 2f = , ( )' 1 1f = − 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1 3y f f x y x− = − ⇒ = − + 3p
c) ( ) 0f x′ < , pentru orice ( )0,x f∈ +∞ ⇒ este descrescătoare pe ( )0, +∞ 2p
Cum ( )1 2f = şi ( ) 2017
2016 2016
f = , obținem ( )
2017 2
2016 f x≤ ≤ , pentru orice [ ]1, 2016x ∈ 3p
2.a)
( )( )
2 2 4
2 3
0 0
2
3 2 4 0
x
f x x dx x dx+ − = = =∫ ∫ 3p
4= 2p
b)
( )( ) ( )
1 1
3 2
0 0
3 2x x
f x x x x e dx x e dx− + + = + =∫ ∫ 2p
( ) 1
1 2 1
0
x
x e e= + = − 3p
c)
( )
1 4 3
1
1
2
4 1
a
a
ax
f x dx x x a
+
−
+ 
= − + =   − 
∫ 2p
3 3
2 2 2 6 4 0a a a a a= + − − + = , pentru orice număr real a 3p