Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2016 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră progresia geometrică ( ) 1n n
b ≥ cu 1 2b = și 2 8b = . Calculați 1 2 3b b b+ + .
5p 2. Determinaţi numerele reale a pentru care ( ) ( )5 5f a f− = , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4 1f x x x= − + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2
2 2 4x x−
⋅ = .
5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre se pot forma cu cifrele din mulțimea { }0, 2, 4,5A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5, 2A − și ( )1,4B − . Determinați coordonatele
punctului M , știind că AM MB=
  .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu ( ) 30m ABC = °∢ , 8AB = şi 12BC = . Calculaţi aria triunghiului
ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( ) 2
1 1 1
2 0 1
3 3 2
d x x
x
= +
+
, unde x este număr real.
5p a) Calculaţi ( )0d .
5p b) Demonstrați că ( ) ( )( )2 1 1d x x x= − − + , pentru orice număr real x .
5p c) Arătaţi că, dacă x şi y sunt două numere reale diferite astfel încât ( ) ( )d x d y= , atunci 0x y+ = .
2. Se consideră matricele 0 1
1 0
A  
=  −  și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Calculați 2A I+ .
5p b) Arătați că inversa matricei 2M A I A A= + + ⋅ este matricea A− .
5p c) Determinați numărul real x , pentru care avem ( )( )2 2 22A I B I I+ + = , unde 2
0
0
x
B x
 
=  
 
.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) 2 3 5
2
x x
f x x
+ +
= + .
5p a) Calculaţi ( )
1
lim
x
f x
→
.
5p b) Determinaţi ecuația asimptotei verticale la graficul funcţiei f .
5p c) Determinaţi ecuația asimptotei orizontale la graficul funcţiei f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( ]
( )3
2 1, ,0
1 , 0,
x x
f x x x
 + ∈ −∞
=  − ∈ +∞
.
5p a) Calculaţi ( ) ( )1 1f f− + .
5p b) Demonstrați că funcția f este continuă în punctul 0x = .
5p c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale inecuaţia ( ) 0f x ≥ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Rația progresiei este egală cu 4 2p
1 2 3 2 8 32 42b b b+ + = + + = 3p
2. ( )5 6f = , ( ) 2
5 14 46f a a a− = − + 2p
2 14 40 0 4a a a− + = ⇔ = sau 10a = 3p
3. 1 2 4
2 2 1 2 4x x x x+ −
= ⇔ + = − 3p
5x = 2p
4. Cifra sutelor se poate alege în 3 moduri, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri 3p
Cifra unităților se poate alege, pentru fiecare mod de alegere a celorlalte două cifre, în câte 4
moduri, deci se pot forma 3 4 4 48⋅ ⋅ = de numere 2p
5. Punctul M este mijlocul segmentului AB 2p
( )2,1M 3p
6. Înălțimea din A a triunghiului ABC este de 1 8 4
2 ⋅ = 2p
Aria triunghiului ABC este egală cu 4 12 24
2
⋅ = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
1 1 1
0 2 0 1 0 6 3 0 3 4
3 3 2
d = = + + − − − = 3p
2= 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
0 6 3 1 0 2 2 3 1 2 2d x x x x x= + + + − − + − + = − + = 3p
( ) ( )( )2
2 1 2 1 1x x x= − − = − − + , pentru orice număr real x 2p
c) ( )( ) ( )( ) 2 2
2 1 1 2 1 1 0x x y y x y− − + = − − + ⇔ − = 2p
Cum x y≠ , din ( )( ) 0x y x y− + = , obținem 0x y+ = 3p
2.a)
2
0 1 1 0
1 0 0 1
A I + + 
+ = = − + +  3p
1 1
1 1
 
=  
−  2p
b) ( )2 2 2
1 0
0 1
A A I M A I I A
− 
⋅ = = − ⇒ = + + − = 
−  2p
Cum ( ) ( ) 2A A A A I⋅ − = − ⋅ = , obținem că inversa matricei M este matricea A− 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c)
( )( ) 2
2 2 2 2
11 1 1 1
1 1 1 1 1
x x x
A I B I x x x
   + + 
+ + = =      −  − + − +   
3p
2
2
1 1 2 0 1
0 21 1
x x x
x x
 + +  
  = ⇔ = −    − + − + 
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) 2 2
1
3 5 1 3 1 5
lim 2 1 2x
x x
x→
+ + + ⋅ +
= =
+ + 3p
1= 2p
b)
( ) 2
2 2
2
3 5
lim lim 2x x
x
x x
f x x→− →−
>−
+ +
= =
+ 3p
= +∞ , deci dreapta de ecuație 2x = − este asimptotă verticală la graficul funcției f 2p
c)
( ) 2 2
3 5
1
3 5
lim lim lim 1
22 1
x x x
x x x xf x x
x
→ +∞ → +∞ → +∞
+ +
+ +
= = =
+ +
3p
Dreapta de ecuație 1y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
2.a) ( )1 1f − = − 2p
( ) ( ) ( )1 0 1 1 1f f f= ⇒ − + = − 3p
b) ( ) ( )
0 0
0 0
lim lim 2 1 1
x x
x x
f x x
→ →
< <
= + = 1p
( ) ( )3
0 0
0 0
lim lim 1 1
x x
x x
f x x
→ →
> >
= − = 1p
Cum ( )0 1f = , obținem ( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= , deci funcția f este continuă în punctul 0x = 3p
c) ( ) 1
0 2
f x x= ⇔ = − sau 1x = 2p
Funcția f este continuă pe ℝ , deci funcția f are semn constant pe fiecare din intervalele
1
, 2
 
−∞ − 
  , 1 ,1
2
 
− 
  și ( )1, +∞ 2p
( ) 1
0 ,1
2
f x x  
≥ ⇔ ∈ − 
  1p