Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2016 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați raţia progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , ştiind că 10 5 62 36a a a= + + .
5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecţie a graficului funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 1f x x x= + −
cu dreapta de ecuație 1y x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
2 2
1log log 1 4
1
x x
x
− + − =
+ .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu 10.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )1, 4B și ( )5,1C . Determinaţi
coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC .
5p 6. Arătaţi că 21 cos 2 ctg
1 cos 2
x x
x
+ =
− , pentru orice 0, 2
x
π 
∈ 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1 1
2 3 1
2 1 1
M x
x x
 
 
=  
 − 
, unde x este număr real.
5p a) Calculaţi ( )( )det 0M .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2 3M x M x M x− − = , pentru orice număr real x .
5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O , ( ), 2 1A n n − şi ( )2 2
, 2 1B n n − , unde n
este număr natural, 2n ≥ . Demonstrați că aria triunghiului OAB este număr natural.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 6 2 2 1x y xy x y= − − + .
5p a) Calculați 1
1 3
 .
5p b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie „ ” .
5p c) Calculați 1 2 3 2016
1008 1008 1008 1008
  … .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4 3
xf x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )( )
( )
2
24
3 1 1 1
3
x x x
f x
x
− + +
′ = −
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ( )1 1
4 4
f x− ≤ ≤ , pentru orice număr real x .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2x
f x xe= − .
5p a) Determinaţi primitiva F a funcţiei f , pentru care ( )1 0F = .
5p b) Calculați ( )
1
0
x f x dx∫ .
5p c) Determinați numerele reale x , știind că ( )
1
0
x
f t dt =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )1 1 12 9 4 5 36 9 36a r a r a r r+ = + + + + ⇔ = 3p
4r = 2p
2. 2 2
3 1 1 2 0x x x x x+ − = − ⇔ + = 3p
2x = − sau 0x = 2p
3. ( )( ) ( )
2
2
2
1 1
log 4 1 16
1
x x x
x
− − = ⇒ − =
+
3p
3x = − sau 5x = , care verifică ecuația 2p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere cu cifra unităților zero, 4
numere cu cifra zecilor cinci și cifra unităților număr par nenul și 4 numere cu cifra unităților
cinci și cifra zecilor număr par, deci sunt 17 cazuri favorabile
2p
nr. cazuri favorabile 17
nr. cazuri posibile 90
p = = 2p
5. ( ) ( )1,1 , 1, 4A B AB Oy⇒ 
 și ( ) ( )1,1 , 5,1A C AC Ox⇒ 
 , deci ABC∆ este dreptunghic în A 2p
Centrul cercului circumscris ABC∆ este mijlocul laturii BC și are coordonatele 5
3, 2
 
 
  3p
6. 2
1 cos 2 2cosx x+ = 2p
2
2 2
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin ctg
1 cos 2 2sin
x x
x x x
x x
+
− = ⇒ = =
− , pentru orice 0, 2
x
π 
∈ 
  3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
0 2 3 1 det 0 2 3 1 3 2 0 0 1 2
0 1 1 0 1 1
M M
 
 
= ⇒ = = + − + − − − − = 
 − − 
3p
0= 2p
b)
( ) ( )
2 2 2 1 1 1
2 4 6 2 2 3 1
2 4 2 2 2 1 1
M x M x
x x x x
   
   
− − = − =   
   − − − −   
3p
( )
1 1 1
2 3 1 3
3 6 1 1
M x
x x
 
 
= = 
 − 
, pentru orice număr real x 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)
( )
2 2
0 0 1
2 1 1 1
2 1 1
n n n n
n n
∆ = − = −
−
, deci ( )11
2 2
OAB
n n
∆
−
= ∆ =
A 3p
Cum pentru orice număr natural n , 2n ≥ , numerele 1n − și n sunt consecutive, produsul
lor este număr par, deci OAB∆
A este număr natural 2p
2.a) 1 1 1
1 6 1 2 1 2 1
3 3 3
= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = 2p
1
3
= 3p
b) 6 2 2 1 6 2 2 1x e xe x e ex e x e x= − − + = − − + =  , pentru orice număr real x 2p
( )( )3 1 2 1 0x e x x e= ⇔ − − = , pentru orice număr real x , deci 1
2
e = este elementul neutru
al legii de compoziție „  ”
3p
c) 1 1 1
3 3 3
x y= =  , pentru x și y numere reale 2p
1 2 3 2016 1 2 335 1 337 338 2016 1
1008 1008 1008 1008 1008 1008 1008 3 1008 1008 1008 3
   
= =   
   
  …   …     …  3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( )
( )
( )
4 3 4
2 24 4
1 3 4 3 1
3 3
x x x x
f x
x x
⋅ + − ⋅ −
′ = = =
+ +
3p
( )
( )
( )( )( )
( )
4 2
2 24 4
3 1 3 1 1 1
3 3
x x x x
x x
− − + +
= − = −
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 0f = , ( ) 1
' 0 3
f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 1
3
y x= 3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = − sau 1x = 1p
( ] ( ), 1 ' 0x f x∈ −∞ − ⇒ ≤ , deci f descrescătoare pe ( ], 1−∞ − ; [ ] ( )1,1 ' 0x f x∈ − ⇒ ≥ , deci
f crescătoare pe [ ]1,1− și [ ) ( )1, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≤ , deci f descrescătoare pe [ )1, +∞ 1p
Cum ( )lim 0
x f x
→−∞ = , ( ) 1
1 4
f − = − , ( ) 1
1 4
f = și ( )lim 0
x f x
→+∞ = , obținem ( )
1 1
4 4
f x− ≤ ≤ ,
pentru orice x ∈ ℝ
3p
2.a) :F →ℝ ℝ , ( ) ( )1 2x
F x x e x c= − − + , unde c ∈ ℝ 3p
( )1 0 2F c= ⇒ = , deci ( ) ( )1 2 2x
F x x e x= − − + 2p
b)
( )
1 1
2 2 2
0 0
1 1
2 2
0 0
x x x
x e x dx x e xe dx x− = − − =∫ ∫ 3p
3e= − 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )( )
1
1 1 2
x x
f t dt F x F x e= − = − −∫ 3p
( )( )1 2 0 1x
x e x− − = ⇔ = sau ln 2x = 2p