Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2016 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați partea reală a numărului complex ( )2
1z i i= + .
5p 2. Determinaţi numerele reale m , ştiind că imaginea funcţiei :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x mx= + + este
intervalul [ )1,− +∞ .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1
2 2 4 2x x x+
+ = − .
5p 4. Determinaţi numărul elementelor mulţimii {1, 2, 3, , 2016}M = … care sunt divizibile cu 5 şi nu
sunt divizibile cu 10.
5p 5. Se consideră triunghiul ABC şi punctul M astfel încât 2CM BM=
  . Arătați că 2AM AB AC= −
   .
5p 6. Determinaţi numerele reale [ ]0,x
π∈ , pentru care sin 2 sinx x= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2 2 2
1 1 1
2015 2016
2015 2016
A x x
x
 
 =  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Calculați ( )( )det 2016A .
5p b) Demonstrați că ( )( ) ( )( )det 2015 2016A x x x= − − , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( )( )det A x are valoarea minimă.
2. Se consideră matricele 1 1
1 1
A − − 
=  
  , 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 2X a I aA= + , unde a este număr real.
5p a) Calculați A A⋅ .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )X a X b X a b⋅ = + , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Determinați inversa matricei ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 0 1 2 3 4M X X X X X X X X= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 2 4
1
mx x m
f x x
+ −
= − , unde m este număr real.
5p a) Arătaţi că dreapta de ecuaţie 1x = este asimptotă verticală la graficul funcţiei f , pentru orice
număr real m .
5p b) Determinați numărul real m , pentru care dreapta de ecuaţie 3y = este asimptotă orizontală la
graficul funcției ( ): 1,g +∞ → ℝ , ( ) ( )f x
g x x
= .
5p c) Pentru 1m = − , calculaţi ( )
2
5
lim 2x
f x
x→
−
− .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( )
2
2 , 2
2
log , 2
x a x
f x
ax x x
 + <
= 
 + ≥
, unde a este număr real.
5p a) Pentru 0a = , calculaţi ( ) ( )1 4f f− ⋅ .
5p b) Demonstrați că funcţia f este continuă pe ℝ , pentru orice număr real a .
5p c) Demonstrați că, dacă 1 1
,
2 4
a  ∈ − 
  , ecuația ( ) 0f x = are cel puțin o soluție în intervalul ( )1, 4− .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 2
1 2z i i i= + = = 2p
2= − , deci partea reală a numărului complex z este egală cu 2− 3p
2. 2 24 1 8 0
4
m m
−
− = − ⇔ − = 3p
2 2m = − sau 2 2m = 2p
3. ( )( )2
2 3 2 4 0 2 1 2 4 0x x x x
+ ⋅ − = ⇔ − + = 3p
Deoarece 2 0x > , soluția ecuației este 0x = 2p
4. 5, 15, 25, , 2005… și 2015 sunt numerele din mulţimea M care sunt divizibile cu 5 și nu
sunt divizibile cu 10 2p
În mulţimea M sunt 202 numere care sunt divizibile cu 5 şi nu sunt divizibile cu 10 3p
5. Punctul B este mijlocul segmentului MC 2p
( )1 2
2
AB AM AC AM AB AC= + ⇒ = −
      3p
6. ( )2sin cos sin sin 2cos 1 0x x x x x= ⇔ − = 2p
Cum [ ]0,x
π∈ , obținem 0x = , 3
x
π
= sau x
π= 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2016 2015 2016 2016 det 2016 2015 2016 2016
2015 2016 2016 2015 2016 2016
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
0= 3p
b)
( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 0 0 1
det 2015 2016 2015 2016
2015 2016 2015 2016
A x x x x x
x x x x
= = − − =
− −
2p
( )( ) ( )( )
1 1
2015 2016 2015 2016
2015 2016
x x x x
x x
= − − = − −
+ + , pentru orice număr real x 3p
c) ( )( ) ( )2
det 2015 2016 2015 2016A x x x= − + + ⋅ 2p
( )( )det A x are valoarea minimă pentru 4031
2
x = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
A A  − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ 
⋅ = = 
⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ 
3p
0 0
0 0
 
=  
  2p
b) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2X a X b I aA I bA I a b A abA A⋅ = + + = + + + ⋅ = 3p
( ) ( )2I a b A X a b= + + = + , pentru orice numere reale a și b 2p
c) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 1 0 1 2 3 4 4M X X= − + − + − + + + + + = 2p
Cum ( ) ( ) ( ) 24 4 0X X X I⋅ − = = , inversa matricei M este matricea ( ) 5 4
4 4 3
X  
− =  
− −  3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
2
1 1 1
1 1
4 4
lim lim lim 1
1 1x x x
x x
mx x m x
f x m x
x x→ → →
> >
+ −  
= = + + = 
− −  3p
= +∞ , deci dreapta de ecuație 1x = este asimptotă verticală la graficul funcției f , pentru
orice număr real m 2p
b) 3y = este asimptotă orizontală la graficul funcției ( )lim 3
x
g g x
→ +∞
⇒ = 2p
Cum ( )
2 4
lim 1x
mx x m m
x x→ +∞
+ − =
− , obținem 3m = 3p
c)
( )
( )( )
2
2
2 2 2
4 1 55 61lim lim lim
2 2 1 2x x x
x x
f x x xx
x x x x→ → →
− + + −− − − +−= = =
− − − −
2p
2
3
lim 5
1x
x
x→
− −
= = −
− 3p
2.a) ( ) 1
1 2
f − = − 2p
( ) ( ) ( )4 2 1 4 1f f f= ⇒ − ⋅ = − 3p
b) ( )
2 2
2 2
lim lim 2 1 2
2x x
x x
x
f x a a
→ →
< <
 
= + = + 
  , ( ) ( )2
2 2
2 2
lim lim log 2 1
x x
x x
f x ax x a
→ →
> >
= + = + și ( )2 2 1f a= + ,
deci funcția f este continuă în 2x = , pentru orice număr real a
3p
Cum, pentru orice număr real a , funcția f este continuă pe ( ), 2−∞ și pe ( )2, +∞ , obținem
că f este continuă pe ℝ 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1
1 4 2 4 2 4 1 2 1
2
f f a a a a
 
− ⋅ = − + + = − + 
  2p
Deoarece f este continuă și pentru orice 1 1
,
2 4
a  
∈ − 
  avem ( ) ( )1 4 0f f− ⋅ < , ecuația
( ) 0f x = are cel puțin o soluție în intervalul ( )1, 4−
3p