Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2016 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numerele reale a și b , știind că ( )( ) ( )( )1 1 1a b i a b i+ + = − + − , unde 2 1i = − .
5p 2. Determinaţi numerele reale m , pentru care funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x mx= − + are valoarea
minimă egală cu 3− .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3log log 3xx = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă ambele cifre pătrate perfecte.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,A a− , ( )0, 3B − și ( )1,1C , unde a este număr
real. Determinați numărul real a , ştiind că AB BC AC+ = .
5p 6. Determinaţi ( )0,a
π∈ , ştiind că
2 2
sin cos cos sin 2
7 7
a a
π
π   
− + − =   
    .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2 1
1
1 1
m
A m m m
m
 
 
=  
 
 
, unde m este număr real.
5p a) Calculați ( )( )det 1A .
5p b) Determinați valorile reale ale lui m , pentru care matricea ( )A m este inversabilă.
5p c) Rezolvați ecuația matriceală ( ) 2 1 0
0 1 3 2
X A  
⋅ =  
− 
, unde ( )2,3X ∈ ℝ
M .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 4 4 20x y xy x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că ( )( )4 4 4x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Calculați 1 2 3 2016∗ ∗ ∗ ∗… .
5p c) Determinaţi numerele naturale a , b și c , ştiind că a b c< < și 66a b c∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia { }: \ 1,0f − →ℝ ℝ , ( ) ( )
1
1
f x x x
= + .
5p a) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f .
5p b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul
funcției f este paralelă cu axa absciselor.
5p c) Calculați ( ) ( ) ( )( )lim 1 2 n
n
f f f n
→+∞
+ + +… .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ln x
f x x
= .
5p a) Calculaţi ( )
4
2
1
ln f x dx
x∫ .
5p b) Arătaţi că ( )
1
21
e f x dx
x e
= −∫ .
5p c) Demonstrați că ( )
1
lim 0
e
nn
f x dx
x→+∞ =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )2 1 2 1 0a b i+ + − = 3p
Cum a și b sunt numere reale, obținem 1
2
a = − , 1
2
b = 2p
2. 2 4m∆ = − 2p
2 24 3 16 0 4
4
m m m
−
− = − ⇔ − = ⇔ = − sau 4m = 3p
3. ( )( )3 3 3
3
1
log log 1 log 1 0
log
x x x
x
= ⇒ + − = 3p
1
3
x = sau 3x = , care verifică ecuaţia 2p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
Pătratele perfecte de o cifră sunt 0, 1, 4 şi 9 , deci sunt 3 4 12⋅ = numere naturale de două
cifre care au ambele cifrele pătrate perfecte, adică sunt 12 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 12 2
nr. cazuri posibile 90 15
p = = = 2p
5. Punctele A , B şi C sunt coliniare, deci AB BCm m= 2p
3 1 3 7
0 1 1 0
a a
− − +
= ⇔ = −
+ − 3p
6. 2 2 2 2
sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 2 2 2sin 2
7 7 7 7 7
a a a a a
π π
π
π
π 
− + + − + = ⇔ − + = 
  3p
Cum ( )0,a
π∈ , din relația sin 0
7 a
π 
+ = 
  , obținem 6
7
a
π
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 det 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
A A
 
 = ⇒ = =
 
 
 
3p
0= 2p
b)
( )( ) ( ) ( )( )2
2 1 2 1 1 2 1 1
det 1 1 1 2 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 0
m m
A m m m m m m m m m m m
m m m m
+
= = + = + − − = + −
+ − −
2p
Matricea ( )A m este inversabilă ( )( ) ( )( ) { }2
det 0 1 1 0 \ 1, 1A m m m m⇔ ≠ ⇔ + − ≠ ⇔ ∈ −ℝ 3p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c)
( )
2 1 0
0 0 0 1
1 0 1
A
 
 
=  
 
 
, ( )( )det 0 1 0A = ≠ , ( )( ) 1
0 1 1
0 1 2 2
0 1 0
A −
− 
 
= − 
 
 
3p
0 1 1
2 1 0 1 0 0
1 2 2
1 3 2 3 9 7
0 1 0
X X
− 
    
= − ⇒ =    − −    
 
2p
2.a) 4 4 16 4x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )4 4 4 4 4 4 4x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
b) 4 4 4x y∗ = ∗ = , pentru x și y numere reale 2p
( )( ) ( ) ( )1 2 3 2016 1 2 3 4 5 2016 4 5 2016 4∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ =… … … 3p
c) ( )( )( )4 4 4 62a b c− − − = , unde a , b și c sunt numere naturale și a b c< < 1p
4 2 2
4 1 3
4 31 35
a a
b b
c c
− = − = 
 
− = − ⇔ = 
 − = = 
2p
4 1 5
4 2 6
4 31 35
a a
b b
c c
− = = 
 
− = ⇔ = 
 − = = 
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
1lim lim 0
1x x
f x x x→ + ∞ → + ∞
= =
+ 3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
b) ( ) ( )22
2 1
' 0 0
1
x
f x
x x
+
= ⇔ − =
+ 3p
Coordonatele punctului sunt 1
2
x = − și 4y = − 2p
c)
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1lim lim lim 1
1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 1
n n n
n n nn n n n n→+∞ →+∞ →+∞
     + + + = − + − + + − = − =      ⋅ ⋅ + + +    
… … 3p
1
e
= 2p
2.a)
( )
4 4 4
2 2 2
4
1 1 ln 1 ln
ln ln 2
xf x dx dx dx x
x x x x
= ⋅ = = =∫ ∫ ∫ 3p
ln 2= 2p
b) ( ) 2 2
1 1 1 1
ln 1 1 1
ln ln
1
e e e eef x x
dx dx x dx x dx
x x xx x
′ 
= = − = − + = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 3p
1 1 21
1
e
e x e
= − − = − 2p
c) Cum [ ]1,x e∈ , obținem 0 ln 1x≤ ≤ , deci 1 1
ln 1
0 n n
x
x x+ +
≤ ≤ , pentru orice număr natural n 2p
1 1
1 1
ln 1 1 1
0 1
e e
n n n
x dx dx nx x e+ +
 
≤ ≤ = − − 
 
∫ ∫ și cum ( )
1
1 1
lim 1 0 lim 0
e
n nn n
f x dx
n e x→+∞ →+∞
  
− − = ⇒ =  
   ∫ 3p