Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2016 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2016 2016
5
log 63 log 32 0,0625 4
+ + = .
5p 2. Determinaţi numărul real m , pentru care soluţiile ecuaţiei ( )2 3 4 3 0x m x m− − + − = verifică
relaţia 1 2 1 22x x x x+ = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2 4 8 0x x x
⋅ + − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea { }0, 1, 2, , 9… , acesta să fie soluţie a
ecuaţiei ( ) 0f n = , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3 4f n n n= + − .
5p 5. Se consideră triunghiul ABC cu 6 3AB AC= = şi ( ) 120m A = 
∢ . Calculaţi lungimea vectorului
AC AB−
  .
5p 6. Arătați că ( )sin 1a b+ = , știind că , 0, 2
a b
π 
∈ 
  , a b≠ și sin cos sin cosa a b b+ = + .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( ) 2 2
3
, 2
1 1 1
x y
x y x y∆ = , unde x și y sunt numere reale.
5p a) Calculați ( )1,0∆ − .
5p b) Demonstrați că ( ) ( )( ), 3 3 2x y x y xy x y∆ = − − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele întregi distincte x și y , știind că ( )
1 , 8x y
y x ∆ =
− .
2. Se consideră matricea ( )
1 2 3
0 1 2
0 0 1
n n
n
A n
 
 
 =  
 
 
, unde n este număr natural.
5p a) Calculați ( ) ( )1 0A A− .
5p b) Determinați inversa matricei ( )1A .
5p c) Demonstrați că, dacă ( ) ( ) ( )A n A n A p⋅ = , atunci 0n = și 1p = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 1
ln x
f x x
+
= şi şirul de numere reale ( ) 1n n
x ≥ ,
( )nx f n= .
5p a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p b) Demonstrați că şirul ( ) 1n n
x ≥ este descrescător.
5p c) Demonstrați că ln 2 ln 3nx< ≤ , pentru orice număr natural n , 1n ≥ .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( )
2
2
2
8 7 , 1
4 3
4 4 , 1
x x x
f x x x
x x a x
 − + <
= − +
 + − + ≥
, unde a este număr real.
5p a) Calculați ( )lim
x
f x
→ − ∞
.
5p b) Determinați numărul real a , pentru care funcţia f este continuă în punctul 1x = .
5p c) Pentru 2a = , calculaţi ( )( )
1
1
ln 2
lim 1x
x
f x
x→
>
−
− .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2016 2016 2016log 63 log 32 0,0625 log 2016 0, 25+ + = + = 3p
1 5
1 4 4
= + = 2p
2. 1 2 3 4x x m+ = − , 1 2 3x x m= − 2p
3 4 2 6 2m m m− = − ⇔ = − 3p
3. ( ) ( )( )2 2 2 4 0 2 2 2 1 2 0x x x x x x
+ − = ⇔ − + = 3p
Deoarece 2 0x > , soluția ecuației este 1x = 2p
4. Mulțimea { }0, 1, 2, , 9… are 10 elemente, deci numărul cazurilor posibile este egal cu 10 1p
1 este singurul element al mulțimii { }0, 1, 2, , 9… care verifică relaţia ( ) 0f n = , deci
numărul cazurilor favorabile este egal cu 1 2p
nr. cazuri favorabile 1
nr. cazuri posibile 10
p = = 2p
5. AC AB BC− =
   2p
18BC = 3p
6. 1 2sin cos 1 2sin cos sin 2 sin 2a a b b a b+ = + ⇒ = 2p
Cum , 0, 2
a b
π 
∈ 
  , a b≠ , obținem 2 2a b
π= − , adică 2
a b
π
+ = , deci ( )sin 1a b+ = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
1 3 0
1,0 1 2 0 2 0 0 0 3 0
1 1 1
−
∆ − = = − + + − − − = 3p
5= − 2p
b)
( ) ( )2 2 2 2
2
3 1 3
, 2 2
0 0 1
x y y y y
x y x y y y x y x y y
− − −
∆ = − − = − =
+ − 2p
( )( ) ( )( )2 2
2 3 3 3 3 2x y y x xy y y x y xy x y= − − − + − + = − − − + , pentru orice numere reale x
și y 3p
c) ( )( )3 3 2 8 3 3 1xy x y x y− − + = − ⇔ − − = − 3p
Cum x și y sunt numere întregi distincte, obținem 4, 2x y= = sau 2, 4x y= = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)
( ) ( ) 1 2 3 1 1 1
1 0 0 1 2 0 1 1
0 0 1 0 0 1
A A
   
   − = − =
   
   
2p
0 1 2
0 0 1
0 0 0
 
 =  
 
3p
b)
( )( ) 1 2 3
det 1 0 1 2 1 0
0 0 1
A = = ≠ 2p
Inversa matricei ( )1A este matricea
1 2 1
0 1 2
0 0 1
− 
 −
 
 
3p
c) 1 2
1
1 2 2 3 2 1 2 3
0 1 2 0 1 2
0 0 1 0 0 1
n n n p p
n p
+
+
   ⋅ +
   
=   
   
   
2p
1
2 2 1n p n p+ = ⇔ + = 1p
2 1 2
2 3 2 3 2 3n n n n n+
⋅ + = ⇔ = , deci 0n = și 1p = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2 1 1
lim lim ln lim ln 2 ln 2
x x x
x
f x x x→+∞ →+∞ →+∞
+  
= = + = 
  3p
Dreapta de ecuație ln 2y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
b) 2
1 2
2 3 2 1 2 3
ln ln ln ln1
1 2 3 1
n n
n n n n
x x n n n n
+
+ + +
− = − = <
+ + + , pentru orice număr natural n , 1n ≥ 3p
1 0n nx x+ − < , pentru orice număr natural n , 1n ≥ , deci șirul ( ) 1n n
x ≥ este descrescător 2p
c) 1 ln 3n
x x≤ = , pentru orice număr natural n , 1n ≥ 2p
2 1 1
ln ln 2 ln 2n
n
x n n
+  
= = + > 
  , pentru orice număr natural n , 1n ≥ 3p
2.a) ( ) 2
2
8 7
lim lim 4 3x x
x x
f x x x→ −∞ → −∞
− +
= =
− + 2p
2
2
8 7
1
lim 1
4 3
1x
x x
x x
→ −∞
− +
= =
− +
3p
b) f este continuă în ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1 lim lim 1
x x
x x
x f x f x f
→ →
< >
= ⇔ = = 1p
( )
1 1
1 1
7
lim lim 3
3x x
x x
x
f x x→ →
< <
−
= =
− , ( ) ( )2
1 1
1 1
lim lim 4 4 1
x x
x x
f x x x a a
→ →
> >
= + − + = + , ( )1 1f a= + 3p
3 1 2a a= + ⇔ = 1p
c)
( ) ( ) ( )
( )( )
( )2
1 5
1 1 2 12 2 22 1 4 5
1 1 1
1 1 1
ln 4 4
lim lim ln 4 4 lim ln 1 4 5
1
x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x
x
− +
−
− + −
→ → →
> > >
 + −  = + − = + + − =
 −  
3p
3
ln 3e= = 2p