Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M4 Pedagogic 2016

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 1 0,111
10 100 1000
+ + = .
5p 2. Determinați valorile reale ale lui x pentru care ( ) ( )f x g x≥ , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − și
:g →ℝ ℝ , ( ) 1g x x= + .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 4 3
2 2x x−
= .
5p 4. O firmă folosește 5000 de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă 5% din profitul anual al
firmei. Calculați profitul anual al firmei.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,0A , ( )8,3B și ( )0,3C . Calculați aria
triunghiului ABC .
5p 6. Arătați că 2 2
2sin 30 2cos 60 1° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3 3 6x y xy x y= + + + .
5p 1. Arătați că ( )0 3 3− = − .
5p 2. Arătați că ( )( )3 3 3x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Arătați că ( )3 3x− = − , pentru orice număr real x .
5p 4. Verificați dacă 2e = − este element neutru al legii de compoziție „  ”.
5p 5. Calculați ( ) ( ) ( )2016 2015 ... 3− − −   .
5p 6. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x x x =  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 5 2
2 1
A  
=  
 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p 1. Arătați că det 1A = .
5p 2. Arătați că 2 26A A I− = − , unde 2
A A A= ⋅ .
5p 3. Determinaţi numerele reale x pentru care ( )det 4xA = .
5p 4. Arătaţi că ( )2 2det 6 0A A aI− + ≥ , pentru orice număr real a , unde 2
A A A= ⋅ .
5p 5. Determinați inversa matricei B , unde 2B A I= + .
5p 6. Determinaţi matricele ( )2
a b
X b a
 
= ∈ 
  ℤ
M , știind că det 8X = .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 0,1
10 = , 1 0,01
100 = , 1 0,001
1000 = 3p
0,1 0,01 0,001 0,111+ + = 2p
2. ( ) ( ) 2 1 1f x g x x x≥ ⇔ − ≥ + 2p
[ )2 2,x x≥ ⇔ ∈ + ∞ 3p
3. 2 2
4 3 4 3 0x x x x= − ⇔ − + = 3p
1 1x = și 2 3x = 2p
4. 5% 20
x
x⋅ = , unde x este profitul anual al firmei 3p
5 000 100 000
20
x x= ⇒ = de lei 2p
5. 8BC = și lungimea înălțimii din A este 3 3p
8 3 12
2
ABC∆
⋅
= =
A 2p
6. 1
sin 30 2
° = , 1
cos 60 2
° = 2p
2 2 1 1
2sin 30 2cos 60 2 2 1
4 4
° + ° = ⋅ + ⋅ = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )0 3 0 3 3 0 3 3 6− = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + =
 2p
0 0 9 6 3= + − + = − 3p
2. 3 3 9 3x y xy x y= + + + − =
 2p
( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 3x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( ) ( )( )( )3 3 3 3 3x x− = − + + − =
 3p
0 3 3= − = − , pentru orice număr real x 2p
4. ( ) ( ) ( )( )2 3 2 3 3 3 3x x x x− = + − + − = + − =
 2p
( ) ( )( )( )2 2 3 3 3 3 3x x x x− = − + + − = + − =
 , pentru orice număr real x , deci 2e = − este
element neutru al legii de compoziție „ 
 ” 3p
5. ( )3 3x − = −
 , pentru x număr real 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2016 2015 ... 3 2016 2015 ... 4 3 3− − − = − − − − = −
 
 
 
 
 
 
 3p
6. ( )2
3 3x x x= + −
 , ( )3
3 3x x x x= + −
 
 2p
( ) ( )3 3
3 3 5 3 8 1x x x+ − = ⇔ + = ⇔ = − 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 5 2
det 5 1 2 2
2 1
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
5 4 1= − = 2p
2. 2 29 12
12 5
A A A   = ⋅ =     2p
2 2
29 12 30 12 1 0
6 12 5 12 6 0 1
A A I
     −      − = − = = −           −      3p
3. ( ) 25 2 5 2
det
2 2
x x x x
xA xA x
x x x x
 
= ⇒ = = 
  3p
2 14 2x x= ⇔ = − și 2 2x = 2p
4.
( )2 2
2 2
1 0 1 0
6 det 6
0 1 0 1
a a
A A aI A A aI
a a
− − 
− + = ⇒ − + = = 
− −  3p
( )2
1 0a= − ≥ , pentru orice număr real a 2p
5. 6 2
2 2
B  
=  
 
, 6 2
det 8 0
2 2
B = = ≠ 2p
1
1 1
4 4
1 3
4 4
B−
 
− 
=  
 − 
 
3p
6. 2 2
det a b
X a b
b a
= = − , deci ( )( )2 2
det 8 8 8X a b a b a b= ⇔ − = ⇔ − + = 2p
Cum a și b sunt numere întregi, obținem matricele 3 1
1 3
X − − 
=  
− − 
, 3 1
1 3
X − 
=  
− 
,
3 1
1 3
X − 
=  
− 
sau 3 1
1 3
X  
=  
 
3p