Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2016

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 1 1
1 1 1
2 3 4 4
   − − − =   
    .
5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 2f x x x= − +
cu axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )5log 2 1 2x − = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10, 20,30, 40,50,60,70,80,90A = ,
acesta să fie divizor al lui 1000 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O , ( )0,3A şi ( )4,0B . Calculați perimetrul
triunghiului AOB .
5p 6. Arătați că 3
sin 5
x = , știind că 0, 2
x
π 
∈  
  și 4
cos 5
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 1
0 0
A − 
=  
 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 0A = .
5p b) Verificați dacă ( )2 2A A I O⋅ + = , unde 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p c) Determinați numerele reale m pentru care det 0B = , unde 2B A A mI= ⋅ + .
2. Se consideră polinomul 3 2 4 4f X X X= + + + .
5p a) Arătați că ( )1 0f − = .
5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 3 2X X+ + .
5p c) Demonstrați că
1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 1 1 1 1 1 3
4x x x x x x x x x
+ + + + + = − , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 12f x x x= − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 2 2f x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Arătați că ( )16 16f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]2,2x ∈ − .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 4 2
5 3 1f x x x= + + .
5p a) Arătaţi că ( )( )
1 2
0
3 1 1f x x dx− − =∫ .
5p b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații
1x = și 2x = .
5p c) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1
1 2 2
− = , 1 2
1 3 3
− = , 1 3
1 4 4
− = 3p
1 2 3 1
2 3 4 4
⋅ ⋅ = 2p
2. ( ) 2
0 3 2 0f x x x= ⇔ − + = 3p
1 1x = și 2 2x = 2p
3. 2
2 1 5x − = 3p
13x = , care verifică ecuația 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 1p
În mulțimea A sunt 4 divizori ai lui 1000, deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4
nr. cazuri posibile 9
p = = 2p
5. 3AO = , 4BO = , 5AB = 3p
3 4 5 12AOBP∆ = + + = 2p
6. 2
2 2 4 9
sin 1 cos 1 5 25
x x  = − = − = 
  3p
Cum 0, 2
x
π ∈ 
  , obținem 3
sin 5
x = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 1
det 0 0
A −
= = 2p
1 0 1 0 0= − ⋅ − ⋅ = 3p
b)
2
0 1
0 1
A I  
+ =  
  2p
( )2 2
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0
A A I O
−    
⋅ + = = =    
     3p
c) 1 1
0 0
A A − 
⋅ =  
 
, 1 1
0
m
B m
+ − 
=  
 
, ( )det 1B m m= + 3p
det 0 1B m= ⇔ = − sau 0m = 2p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 1 4 1 4f − = − + − + ⋅ − + = 3p
1 1 4 4 0= − + − + = 2p
b) Câtul este 2X − 3p
Restul este 8 8X + 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 1x x x+ + = − , 1 2 1 3 2 3 4x x x x x x+ + = , 1 2 3 4x x x = − 3p
( ) ( ) ( )2 3 1 3 1 2 3 1 2
1 2 3
4 1 3
4 4
x x x x x x x x x
x x x
+ + + + + + −
= = −
− 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
' 3 12f x x= − = 3p
( ) ( )( )2
3 4 3 2 2x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( )2 16f = − , ( )' 2 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )' 162 22 x yy f f ⇒= − = −− 3p
c) ( )' 2 0f − = , ( )' 2 0f = și ( )' 0f x ≤ , pentru orice [ ]2,2x ∈ − 3p
( ) ( ) ( ) ( )2 2 16 16f f x f f x≤ ≤ − ⇒ − ≤ ≤ , pentru orice [ ]2,2x ∈ − 2p
2.a)
( )( )
1 1
2 4 5
0 0
1
3 1 5 0
f x x dx x dx x− − = = =∫ ∫ 3p
1 0 1= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
2 2 4 2 5 3
1 1
2
5 3 1 1
f x dx x x dx x x x= = + + = + + =∫ ∫A 3p
( ) ( )5 3 5 3
2 2 2 1 1 1 39= + + − + + = 2p
c) :F →ℝ ℝ este o primitivă a funcției ( ) ( )f F x f x′⇒ = , x ∈ ℝ 2p
( ) 4 2
5 3 1 0F x x x′ = + + > pentru orice număr real x , deci F este crescătoare pe ℝ 3p