Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2016

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați primul termen al progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 5 48b = și 8 384b = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 7 6f x x x= − + . Determinați distanța dintre punctele de
intersecție a graficului funcției f cu axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 16 2x x
= ⋅ .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr natural n din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5 , acesta să
verifice egalitatea 2 5 6 0n n− + = .
5p 5. Determinați numărul real a , știind că vectorii ( ) ( )1 1u a i a j= + + −
   și 6 2v i j= +
   sunt coliniari.
5p 6. Arătați că ( ) ( )2 2
2sin cos sin 2cos 4sin 2 5x x x x x+ + + − = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
4 1
A  
=  
 
și 0
0
x
B y
 
=  
 
, unde x și y sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( )det 2 28A = − .
5p b) Determinați numerele reale x și y , știind că 22A B I+ = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p c) Dacă AB BA= , arătați că det 0B ≤ .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 3 2x y xy x y= + + + .
5p a) Arătați că ( )1 1 1− = − .
5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x x= .
5p c) Determinați perechile ( ),a b de numerele întregi, știind că 8a b = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 x
f x ex= − .
5p a) Arătați că ( ) ( )' 1 x
f x x e= − , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( )' 1f x ≥ − , pentru orice număr real x .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
2 1x
f x x
+
= .
5p a) Arătați că ( )
2
1
1 3f x dx
x
 
− = 
 
∫ .
5p b) Demonstrați că funcția ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) 2 ln 2016F x x x ++= este o primitivă a funcţiei f .
5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției
[ ]: 1, 2g → ℝ , ( ) ( )g x f x= este mai mic decât 14
π .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4
1 48b q⋅ = și 7
1 384 2b q q⋅ = ⇒ = 3p
1 3b = 2p
2. ( ) 2 10 7 6 0 1f x x x x= ⇔ − + = ⇔ = și 2 6x = , deci graficul funcției f intersectează axa
Ox în punctele ( )1,0 și ( )6,0 3p
Distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox este egală cu 5 2p
3. ( )5 4
2 2 2 5 4
x x x x= ⋅ ⇔ = + 3p
1x = 2p
4. Mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5 are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile 1p
În mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5 sunt 2 numere care verifică egalitatea, deci sunt 2 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 2
nr. cazuri posibile 5
p = = 2p
5. 1 1 2 2 6 6
6 2
a a a a
+ −
= ⇔ + = − 3p
2a = 2p
6. ( )2 2 2
2sin cos 4sin 4sin cos cosx x x x x x+ = + + 2p
( ) ( ) ( )2 2 22 2
sin 2cos sin 4sin cos 4cos 2sin cos sin 2cosx x x x x x x x x x+ = + + ⇒ + + + −
( )2 2
4sin 2 5 sin cos 8sin cos 4 2sin cos 5x x x x x x x− = + + − ⋅ = , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2 4
2 8 2
A  
=  
 
, ( ) 2 4
det 2 8 2
A = = 3p
2 2 4 8 4 32 28= ⋅ − ⋅ = − = − 2p
b) 1 2 0 2 1 2 2
2 4 1 2 0 4 2 1
x x
A B y y
+     
+ = + =     
+      2p
1 2 2 1 0 1
4 2 1 0 1
x x
y
+   
= ⇒ = −   
+   
și 2y = − 3p
c) 2
4
y x
AB y x
 
=  
 
, 4
2
x x
BA y y
 
=  
  2p
2AB BA y x= ⇔ = , deci 20
det 2 0
2 0
x
B x
x
= = − ≤ , pentru orice număr real x 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( ) ( )1 1 3 1 1 3 1 3 1 2− = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + =
 3p
3 3 3 2 1= − − + + = − 2p
b) 2 2
3 3 3 2 3 5 2 0x x x x x x+ + + = ⇔ + + = 3p
1
2
3
x = − și 2 1x = − 2p
c) ( )( )3 3 3 3 1 8 1 1 3ab a b a b+ + + − = ⇔ + + = 3p
Cum a și b sunt numere întregi, obținem ( )4, 2− − , ( )2, 4− − , ( )0, 2 și ( )2,0 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )( )''' 2 2x x
f x x e x e= − + − = 2p
( ) ( )2 1x x x
e x e x e= + − = − , x ∈ ℝ 3p
b) ( ) ( ) 2
lim lim 2 lim 0x
xx x x
x
f x x e e−→−∞ →−∞ →−∞
−
= − = = 3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre −∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( )'' x
f x xe= , ( )'' 0 0f x x= ⇔ = 2p
( )'' 0f x ≤ , pentru orice ( ],0 'x f∈ −∞ ⇒ este descrescătoare pe ( ],0−∞ 1p
( )'' 0f x ≥ , pentru orice [ )0, 'x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ ) ( ) ( )0, ' ' 0 1f x f+∞ ⇒ ≥ = − ,
pentru orice număr real x 2p
2.a)
( )
2 2 2
1 1
21 2 1
f x dx x dx x
x
 
− = = = 
 
∫ ∫ 3p
4 1 3= − = 2p
b) ( ) ( )2 1'ln 2016 2F x x x x x
′ = + + = + = 2p
( )
2
2 1x f x
x
+
= = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci F este o primitivă a funcției f 3p
c)
( )
22 2 22
2 2
2
1 1 1
2 1 1
4 4
x
V g x dx dx x dx
x x
π
π
π
 +  
= = = + + =       
∫ ∫ ∫ 2p
3 24 1 83
4 14
13 6
x x x
π
π
π
 
= + − = <  
 
3p