Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M1 Mate-Info 2016

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul real x , știind că numerele 7, 3x și 2 2x + sunt, în această ordine, termeni
consecutivi ai unei progresii aritmetice.
5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că parabola asociată funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x x m= − +
este tangentă axei Ox .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia
4 9
1 32
2
x x
−
  = 
  .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii { }1, 2, 3, 4, 5, 6A = , aceasta
să aibă cel mult două elemente.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 0A − , ( )1, 0B și ( )1, 4C . Determinaţi
ecuaţia dreptei care trece prin punctul B şi este paralelă cu mediana din A a triunghiului ABC .
5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC în care 3
4
A
π
= şi 2BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 0
0 1 0
0 0 2x
x
A x
 
 =  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 10 1024A = .
5p b) Determinați numerele reale x , știind că ( ) ( ) ( )2
2 2A x A x A x⋅ = + .
5p c) Știind că ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2016A n A A A A= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… , demonstrați că n este număr natural divizibil cu
2017.
2. Se consideră polinomul 3 5f X X a= − + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )0f a= .
5p b) Determinați numărul real a pentru care 3 3 3
1 2 3 2016 4x x x a+ + = − , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
5p c) Demonstrați că polinomul f are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 21 1
2
x
f x e x x= − − − .
5p a) Arătaţi că ( )' 1x
f x e x= − − , x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( )
( )
lim
x
f ' x
f x→+∞
.
5p c) Demonstraţi că ( ) ( )2 3 3 2<f f .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul ( )
1 2
0
1 n
nI x dx= −∫ .
5p a) Arătați că 1
2
3
I = .
5p b) Demonstrați că 1n nI I+ ≤ , pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )12 3 2 1n nn I n I++ = + , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2016
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
7 2 2 3x x+ + = ⋅ 3p
2 6 9 0 3x x x− + = ⇔ = 2p
2. 0 4 4 0m∆ = ⇔ − = 3p
1m = 2p
3. ( )4 91 5
2 2 4 9 5
x x x x
−− = ⇔ − + = 3p
1x = 2p
4. Mulțimea A are 0 1 2 3 4 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6 2 64C C C C C C C+ + + + + + = = de submulțimi, deci sunt 64 de
cazuri posibile 2p
Mulțimea A are 0 1 2
6 6 6 1 6 15 22C C C+ + = + + = de submulțimi cu cel mult două elemente,
deci sunt 22 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 22 11
nr. cazuri posibile 64 32
p = = = 1p
5. Punctul ( )1, 2M este mijlocul laturii BC 1p
( )
2 0 1
1 1
AMm −
= =
− − 2p
Ecuația dreptei care trece prin punctul B şi este paralelă cu dreapta AM este 1y x= − 2p
6. 2
2 3sin 2 sin 4
BC R R
A
π
= ⇒ = = 3p
1= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
10 10
1 10 0 1 10 0
10 0 1 0 det 10 0 1 0
0 0 2 0 0 2
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
10
2 1024= = 3p
b) ( ) ( ) ( )2 3A x A x A x⋅ = 2p
( ) ( )2 2 13 2 3 2 0 1A x A x x x x= + ⇔ − + = ⇔ = și 2 2x = 3p
c) Deoarece ( ) ( ) ( )A x A y A x y⋅ = + , pentru orice numere reale x și y , obținem ( )A n =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2016 1 2 3 2016 2017 1008A A A A A A= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + + = ⋅… … 3p
2017 1008n = ⋅ , deci n este număr natural divizibil cu 2017 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) 3
0 0 5 0f a= − ⋅ + = 3p
0 0 a a= − + = 2p
b) 1 2 3 0x x x+ + = , ( )3 3 3
1 2 3 1 2 35 3 3x x x x x x a a+ + = + + − = − 3p
3 2016 4 2016a a a− = − ⇔ = 2p
c) Presupunem că f are cel puțin două rădăcini întregi 1x și 2x ; cum 1 2 3 30x x x x+ + = ⇒ ∈ ℤ 1p
Știind că 2 2 2
1 2 3 10x x x+ + = , dacă 2 2 2
1 2 3x x x≥ ≥ , obținem 2
1 9x = , 2
2 1x = și 2
3 0x = 2p
Deoarece pentru valorile pe care le obținem pentru 1x , 2x și 3x , relația 1 2 3 0x x x+ + = nu
este verificată, polinomul f are cel mult o rădăcină întreagă 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) 2 '1'' ' 1'
2
x
f x e x x
 
= − − − = 
  2p
1 2 1 1
2
x x
e x e x= − ⋅ − = − − , x ∈ ℝ 3p
b) Aplicând succesiv teorema lui l’Hospital, obținem 2
1 1
lim lim
1 11
2
x x
xxx x
e x e
e xe x x→+∞ →+∞
− − −
= =
− −− − − 3p
lim 1
1
x
xx
e
e→+∞
= =
− 2p
c) ( )" 1 0x
f x e= − > pentru orice ( )0,x ∈ + ∞ , deci 'f strict crescătoare pe ( )0, + ∞ și cum
( )' 0 0f = , obținem ( )' 0f x > pentru orice ( )0,x ∈ + ∞ , deci f strict crescătoare pe ( )0, + ∞ 3p
( ) ( )0 2 3 3 2 2 3 3 2f f< < ⇒ < 2p
2.a)
( )
1 3
2
1
0
1
1 03
x
I x dx x
 
= − = − =  
 
∫ 3p
1 2
1 3 3
= − = 2p
b)
( )( )
1 2 2
1
0
1 n
n nI I x x dx+ − = − −∫ , pentru orice număr natural nenul n 2p
Pentru orice număr natural nenul n și [ ]0,1x ∈ avem 2 0x− ≤ și ( )2
1 0
n
x− ≥ , deci 1n nI I+ ≤ 3p
c)
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 11 12 2 2
1
0 0
1
' 1 1 1 1 2
0
n n n
nI x x dx x x x n x x dx
+ +
+ = − = − − + − − =∫ ∫ 2p
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 1
2 2 2 2 1
0 0
2 1 1 2 1 1 1 1 2 1
n n
n nn x x dx n x x dx n I I+= + − = − + − − − = − + −∫ ∫ , deci
( ) ( )12 3 2 1n nn I n I++ = + , pentru orice număr natural nenul n
3p