Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2015 – varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 8
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 8
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 32 18 2 0− − = .
5p 2. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= + și
:g →ℝ ℝ , ( ) 4 2g x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 3
5 25x− = .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4 și 5.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3A , ( )5,3B şi ( )5,6C . Arătați că AB BC= .
5p 6. Arătați că sin 30 sin 45 cos 45 1° + ° ⋅ ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziţie x y xy x y= + + .
5p 1. Arătați că ( )2015 1 1− = − .
5p 2. Demonstrați că legea de compoziţie „  ” este asociativă.
5p 3. Verificați dacă 0e = este element neutru al legii de compoziţie „  ”.
5p 4. Arătați că ( )2
1 1x x x= + − , pentru orice număr real x .
5p 5. Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia 0x x x x =   .
5p 6. Arătaţi că ( )1x x x+ ≥ , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
şi ( ) 2
1 1
a
A a a
 
=  
+ 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 0 2A = − .
5p 2. Determinaţi numerele reale a pentru care ( )( )det 0A a = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația ( )( )2det 0A a I− < .
5p 4. Arătați că ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2a A a A a A a a a I+ − ⋅ = + − , pentru orice număr real a .
5p 5. Determinați inversa matricei ( )2A .
5p 6. Determinaţi numerele naturale m pentru care ( )( )det 1A m ≤ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 32 4 2= , 18 3 2= 2p
4 2 3 2 2 0− − = 3p
2. ( ) ( ) 1 4 2 3 3f x g x x x x= ⇔ + = − ⇔ = 3p
Coordonatele punctului de intersecție sunt 1x = și 2y = 2p
3. 5 3 2
5 5 5 3 2x x− = ⇔ − = 3p
1x = 2p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 2 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 5 moduri, deci se
pot forma 2 5 10⋅ = numere 3p
5. 3AB = 2p
3BC AB BC= ⇒ = 3p
6. 1
sin 30 2
° = , 2
sin 45 2
° = , 2
cos 45 2
° = 3p
1 2 2 1 1 1
2 2 2 2 2
+ ⋅ = + = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )2015 1 2015 1 2015 1− = ⋅ − + + − =
 3p
2015 2015 1 1= − + − = − 2p
2. ( ) ( )x y z xy x y z xyz xz yz xy x y z= + + = + + + + + +
 
 
 2p
( ) ( ) ( )x y z x yz y z xyz xy xz x yz y z x y z= + + = + + + + + + =
 
 
 
 
 , pentru orice numere
reale x , y și z 3p
3. 0 0 0x x x x= ⋅ + + =
 2p
0 0 0 0x x x x x= ⋅ + + = =
 
 , pentru orice număr real x , deci 0e = este element neutru al
legii de compoziție „ 
 ” 3p
4. 2 2x x x x x x x x= ⋅ + + = + =
 2p
( )22 2 1 1 1 1x x x= + + − = + − , pentru orice număr real x 3p
5. ( )4
1 1x x x x x= + −
 
 
 2p
( )4
11 1 2x x+ = ⇔ = − și 2 0x = 3p
6. ( ) ( ) 2
1 1 1 2 1x x x x x x x x x x+ − = + + + + − = + + =
 2p
( )2
1 0x= + ≥ , deci ( )1x x x+ ≥
 , pentru orice număr real x 3p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
0 2 0 2
0 det 0 0 1 1 2
1 1 1 1
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
0 2 2= − = − 2p
2. ( )( ) 22
det 2
1 1
a
A a a a
a
= = + −
+ 3p
2 12 0 2a a a+ − = ⇔ = − și 2 1a = 2p
3. ( ) ( )( ) 2
2 2
1 2 det 2
1
a
A a I A a I a a
a
− 
− = ⇒ − = − − 
  2p
( )2 2 0 1, 2a a a− − < ⇔ ∈ − 3p
4.
( ) ( ) 2
2
2 4 2
2 1
2 1 2 3 1
a a a
a A a
a a a
 + +
 + =  + + + 
1p
( ) ( ) 2
2
2 4 2
2 1 2 3
a a
A a A a
a a a
 + +
 ⋅ =  + + + 
2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 22
2 0 1 0
2 1 2 2
0 10 2
a a
a A a A a A a a a a a I
a a
 + −  
 + − ⋅ = = + − = + −    + − 
,
pentru orice număr real a
2p
5. ( ) 2 2
2 1 3
A  
=  
 
, ( )( )det 2 4 0A = ≠ 2p
( )( ) 1
3 1
4 2
2 1 1
4 2
A −
 
− 
=  
 − 
 
3p
6. ( )( ) 2
det 1 3 0A m m m≤ ⇔ + − ≤ 2p
Cum m este număr natural obținem 0m = și 1m = 3p