Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2015 – varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 1
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că
4
1 33
2 : 1
2 16
  
 + =    
.
5p 2. Determinaţi numărul real a pentru care ( ) ( )2 2 4f f+ − = , unde :f →ℝ ℝ , ( )f x x a= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2 3
3 3x x+ = .
5p 4. Prețul unui obiect este 200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori,
succesiv, cu câte 10% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O , ( )3,4A − și ( )3,4B . Determinaţi distanţa
de la punctul O la punctul M , știind că M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC , ştiind că ( ) 45m B = °∢ şi 2AB AC= = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie 2015x y x y∗ = + − .
5p 1. Arătați că 1007 1008 0∗ = .
5p 2. Arătați că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă.
5p 3. Verificaţi dacă 2015e = este elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”.
5p 4. Determinaţi numărul real x , știind că 2015x x∗ = .
5p 5. Arătaţi că ( ) ( ) ( )2015 1007 1008x x x x∗ + = + ∗ + , pentru orice număr real x .
5p 6. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 25 1985x x
∗ = − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 1
3 0
A − 
=  
 
și 3 4
a b
B  
=  
 
, unde a și b sunt numere reale.
5p 1. Arătați că det 3A = .
5p 2. Determinaţi numerele reale a și b astfel încât 24B A I− = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p 3. Pentru 0a = , determinați numărul real b pentru care det 9B = .
5p 4. Determinaţi numerele reale a și b , știind că AB BA= .
5p 5. Arătaţi că inversa matricei A este matricea
1
0 3
1
1 3
 
 
 
 −
 
.
5p 6. Pentru 1a b= = , rezolvaţi în ( )2 ℝ
M ecuaţia B X A⋅ = .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4
1 1 33
2 2
2 16 16
 
+ = + = 
  3p
33 33
: 1
16 16 = 2p
2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2f f a a a+ − = + + − + = 3p
2 4 2a a= ⇔ = 2p
3. 2 2
2 3 3 2 0x x x x+ = ⇔ − + = 3p
1 1x = și 2 2x = 2p
4. După prima scumpire cu 10% , prețul obiectului va fi 10
200 200 220
100
+ ⋅ = de lei 2p
După a doua scumpire cu 10% , prețul obiectului va fi 10
220 220 242
100
+ ⋅ = de lei 3p
5. ( )0, 4M 2p
4OM = 3p
6. ABC∆ este dreptunghic în A , deci 2 2
2
ABC∆
⋅
= =
A 3p
1= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 1007 1008 1007 1008 2015∗ = + − = 3p
2015 2015 0= − = 2p
2. ( ) ( )2015 2015 4030x y z x y z x y z∗ ∗ = + − + − = + + − 2p
( ) ( ) ( )2015 2015 4030x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = + + − − = + + − = ∗ ∗ , pentru orice numere
reale x , y și z 3p
3. 2015 2015 2015x x x∗ = + − = 2p
2015 2015 2015 2015x x x x∗ = + − = = ∗ , pentru orice număr real x , deci 2015e = este
element neutru al legii de compoziție „ ∗ ” 3p
4. 2015 2015x x+ − = 3p
2015x = 2p
5. ( ) ( )2015 2015 2015 2x x x x x∗ + = + + − = 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1007 1008 1007 1008 2015 2 2015x x x x x x x+ ∗ + = + + + − = = ∗ + , pentru orice
număr real x 3p
6. ( )22
5 5 30 0 5 5 30 0x x x x
+ − = ⇔ + − = 2p
5 5 1x x= ⇔ = 2p
5 6x = − nu are soluţie 1p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( )
1 1
det 1 0 1 3
3 0
A −
= = ⋅ − − ⋅ = 3p
0 3 3= + = 2p
2. 1 1 4 0
0 4 0 4
a b− +   
=   
    3p
5a = și 1b = − 2p
3. 0
det 0 4 3 3
3 4
b
B b b= = ⋅ − ⋅ = − 3p
3 9 3b b− = ⇔ = − 2p
4. 3 4
3 3
a b
AB a b
− − 
=  
 
, 3
15 3
a b a
BA + − 
=  
−  2p
5AB BA a= ⇔ = și 1b = − 3p
5.
2
1
0 1 03
1 0 1
1 3
A I
 
   
⋅ = =   
   − 
 
3p
2
1
0 1 03
1 0 1
1 3
A I
 
   
⋅ = =   
   − 
 
, deci matricea
1
0 3
1
1 3
 
 
 
 −
 
este inversa matricei A 2p
6. 1 1
3 4
B  
=  
 
, det 1B = , 1 4 1
3 1
B− − 
=  
−  3p
1 1 4
0 3
X B A X− − 
= ⋅ ⇔ =  
  2p