Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2015 – varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 20 2
2 5 7
 + ⋅ = 
  .
5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul ( ), 0A a aparține graficului funcţiei :f →ℝ ℝ ,
( ) 2f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 4x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10, 20,30, 40,50,60,70, 80,90M = ,
acesta să fie multiplu de 15.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4, 2A şi ( )4,6B . Determinaţi coordonatele
mijlocului segmentului AB .
5p 6. Arătați că 12
sin 13
x = , știind că 0, 2
x
π 
∈ 
  și 5
cos 13
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
3 4
A  
=  
 
, 4 3
2 1
B  
=  
 
și 1 1
1 1
C  
=  
  .
5p a) Arătați că det 2A = − .
5p b) Arătați că 5A B C+ = .
5p c) Demonstrați că 24 25AB BA I C+ + = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 4 4 12x y xy x y= + + + .
5p a) Arătați că ( )5 4 4− = − .
5p b) Arătați că ( )( )4 4 4x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x x= .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
32 5xf x x+= + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )' 6 1f x x x= + , x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( )
( ) 3
'
lim 2x
f x
f x x→+∞ − .
5p c) Determinaţi intervalele de monotonie a funcției f .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 3 2
4 3f x x x+= .
5p a) Arătaţi că ( )( )2
2
1
13 5dxf x x =−∫ .
5p b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care ( )1 2015F = .
5p c) Determinaţi numărul natural n , 1n > , ştiind că ( )
2
1
9
n
x
f x dx =∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 7
2 5 10
+ = 3p
7 20 2
10 7
⋅ = 2p
2. ( ) 0 2 0f a a= ⇔ − = 3p
2a = 2p
3. 3 16x + = 3p
13x = , care verifică ecuația 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 1p
În mulțimea M sunt 3 multipli de 15, deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 9 3
p = = = 2p
5. 4Mx = 2p
4My = , unde punctul M este mijlocul segmentului AB 3p
6. 2
2 2 5 144
sin 1 cos 1 13 169
x x  = − = − = 
  3p
Cum 0, 2
x
π ∈ 
  , obținem 12
sin 13
x = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2
det 1 4 2 3
3 4
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
4 6 2= − = − 2p
b) 1 2 4 3 5 5
3 4 2 1 5 5
A B      
+ = + = =     
      3p
1 1
5 5
1 1 C
 
= = 
  2p
c) 8 5
20 13
AB  
=  
 
, 13 20
5 8
BA  
=  
 
, 2
4 0
4 0 4
I  
=  
  3p
2
25 25 1 1
4 25 25
25 25 1 1
AB BA I C
   
+ + = = =   
    2p
2.a) ( ) ( ) ( )5 4 5 4 4 5 4 4 12− = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + =
 3p
20 20 16 12 4= − + − + = − 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 4 4 16 4x y xy x y= + + + − =
 2p
( ) ( ) ( )( )4 4 4 4 4 4 4x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
c) ( )2
4 4x x x= + −
 2p
( ) ( )( )2
14 4 4 3 0 4x x x x x+ − = ⇔ + + = ⇔ = − și 2 3x = − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )3 2' '' 2 3 5'f x x x= + + = 2p
( )2
6 6 6 1x x x x= + = + , x ∈ ℝ 3p
b) ( )
( )
( )
3 2
' 6 1
lim lim
2 3 5x x
f x x x
f x x x→+∞ →+∞
+
= =
− + 2p
2= 3p
c) ( )' 0f x = ⇔ 1 1x = − și 2 0x = 2p
( )' 0f x ≥ , pentru orice ( ], 1x ∈ −∞ − , deci f este crescătoare pe ( ], 1−∞ − 1p
( )' 0f x ≤ , pentru orice [ ]1,0x ∈ − , deci f este descrescătoare pe [ ]1,0− 1p
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ , deci f este crescătoare pe [ )0,+∞ 1p
2.a)
( )( )2
2 2 3 4
1 1
4 1
3 2
dx x xf x x dx= = =−∫ ∫ 3p
16 1 15= − = 2p
b) :F →ℝ ℝ , ( ) 4 3
F x x x c= + + , unde c ∈ ℝ 2p
( )1 2015 2013F c= ⇒ = , deci ( ) 4 3 2013F x x x= + + 3p
c) ( ) ( ) 2 2
2
1 1
4 3 2 3 2 3 5
1 1
n n n nf x dx x dx x x n n
x = + = + = + −∫ ∫ 3p
2
2 3 5 9n n+ − = și cum n este număr natural, 1n > , obținem 2n = 2p