Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2015 – varianta 5

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2 3 1
3 1 − =
− .
5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu axa Oy , unde
: ,f →ℝ ℝ ( ) 2
2 2015f x x x= + + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2x + = .
5p 4. După o reducere cu 10% un obiect costă 99 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de reducere.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1M şi ( )4,1N . Determinați lungimea
segmentului MN .
5p 6. Arătați că 4
sin 5
x = , ştiind că 0, 2
x
π 
∈ 
  și 3
cos 5
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea 2 1
2 1
A  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 0A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care A A xA⋅ = .
5p c) Arătați că ( ) ( )2 2det det 2A I A I+ + − = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
  .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 2 1f X X X= − − + .
5p a) Arătaţi că ( )1 2f = − .
5p b) Arătaţi că polinomul f este divizibil cu polinomul 1X + .
5p c) Determinaţi numărul real a pentru care ( )1 2 2 3 3 1
1 2 2 3 3 1
1 1 1 a x x x x x x
x x x x x x
+ + = + + , unde 1x , 2x și
3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
f x x x
= − .
5p a) Arătați că ( ) 2
1
' 1f x x
= + , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că funcția f este concavă pe intervalul ( )0, +∞ .
2. Se consideră funcţia : →ℝ ℝf , ( ) 2 2= +f x x .
5p a) Arătați că ( )( )
1
0
1
2 3
f x dx− =∫ .
5p b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care ( )3 5=F .
5p c) Arătați că suprafaţa delimitată de graficul funcţiei :g →ℝ ℝ , ( ) ( )x
g x e f x= ⋅ , axa Ox și dreptele
de ecuații 0x = și 1x = , are aria egală cu 3 4e − .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 3 1
3 1 = +
− 3p
3 1 3 1+ − = 2p
2. ( )0 2015f = 3p
Coordonatele punctului de intersecție cu axa Oy sunt 0x = și 2015y = 2p
3. 2 4x + = 2p
2x = , care verifică ecuația 3p
4. 10% 99p p− ⋅ = , unde p este prețul obiectului înainte de reducere 3p
110p = lei 2p
5. ( ) ( )2 2
4 2 1 1MN = − + − = 3p
2= 2p
6. 2
2 2 3 16
sin 1 cos 1 5 25
x x  = − = − = 
  3p
Cum 0, 2
x
π ∈ 
  , obținem 4
sin 5
x = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2 1
det 2 1
A = = 2p
2 1 2 1 0= ⋅ − ⋅ = 3p
b) 6 3
6 3
A A  
⋅ =  
 
, 2
2
x x
xA x x
 
=  
  3p
6 3 2 3
6 3 2
x x x
x x
   
= ⇔ =   
    2p
c) ( )2
3 1
det 4
2 2
A I+ = = , ( )2
1 1
det 2
2 0
A I− = = − 3p
( ) ( ) ( )2 2det det 4 2 2A I A I+ + − = + − = 2p
2.a) ( ) 3 2
1 1 2 1 2 1 1f = − ⋅ − ⋅ + = 3p
1 2 2 1 2= − − + = − 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 2 1 2 1 1f − = − − ⋅ − − ⋅ − + = 3p
1 2 2 1 0= − − + + = , deci polinomul f este divizibil cu polinomul 1X + 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 2x x x+ + = , 1 2 1 3 2 3 2x x x x x x+ + = − , 1 2 3 1x x x = − 3p
( ) ( )1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 2 3
2 2 1
1
x x x a x x x x x x a a
x x x
+ + = + + ⇔ = ⋅ − ⇔ =
− 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) '1
' 'f x x x
 
= − = 
  2p
2 2
1 1
1 1
x x
 
= − − = + 
  , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) ( ) 2
2
1
lim lim 1
x x
f x x
x x→+∞ →+∞
−
= = 2p
( )( ) 1
lim lim 0
x x
f x x x→+∞ →+∞
 
− = − = 
  , deci dreapta de ecuație y x= este asimptotă oblică spre
+∞ la graficul funcției f
3p
c) ( ) 3
2
''f x x
= − , ( )0,x ∈ +∞ 2p
( )'' 0f x < , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci funcția f este concavă pe intervalul ( )0,+∞ 3p
2.a)
( )( )
1 1 3
2
0 0
1
2 03
x
f x dx x dx− = = =∫ ∫ 3p
1 1
0
3 3
= − = 2p
b) :F →ℝ ℝ , ( ) 3
2
3
x
F x x c= + + , unde c ∈ ℝ 2p
( )3 5 10F c= ⇒ = − , deci ( ) 3
2 10
3
= + −
x
F x x 3p
c)
( ) ( )
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1
2 2 2 3 2 2 2
0 0
x x x x x
e x dx e x xe dx e xe e dx
 
 = + = + − = − − − =
 
 
∫ ∫ ∫
A 3p
1
3 2 2 2 3 4
0
x
e e e e= − − + = − 2p