Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2015 – varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că media geometrică a numerelor 16a = și 9b = este egală cu 12.
5p 2. Determinaţi numărul real m pentru care ( )2 0f = , unde :f →ℝ ℝ , ( )f x x m= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 5
3 3x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = , acesta să
fie multiplu de 2.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3A − şi (5,3)B . Determinaţi coordonatele
mijlocului segmentului AB .
5p 6. Arătați că 1
sin 2
x = , știind că 0, 2
x
π 
∈ 
  și 3
cos 2
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 3
2 1
A  
=  
 
, 4 0
0 4
B − 
=  
 
şi ( ) 1
2 3
x
C x  
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 5A = − .
5p b) Arătați că ( )( )det 1 detA C B+ − = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )C x A A C x B⋅ − ⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 6 3f X X X= + − + .
5p a) Arătați că ( )1 0f = .
5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 3 3X X+ − .
5p c) Demonstrați că 1 2 3 1 2 3
1 1 1 0x x x x x x
+ + + + + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3 1f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( ) 3
lim
x
f x x
x→+∞
− .
5p c) Arătați că ( )1 3f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
2f x x x
= + .
5p a) Arătaţi că ( )
3
2
1 5f x dx
x
 
− = 
 
∫ .
5p b) Demonstrați că funcția ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) 2 ln 2015F x x x= + + este o primitivă a funcției f .
5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei
[ ]: 1, 2g → ℝ , ( ) ( ) 2g x f x x= − .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2015
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul
tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 16 9gm = ⋅ = 3p
4 3 12= ⋅ = 2p
2. ( )2 2f m= + 2p
2 0 2m m+ = ⇔ = − 3p
3. 2 1 5x + = 3p
2x = 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 1p
În mulțimea A sunt 4 multipli de 2, deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4
nr. cazuri posibile 9
p = = 2p
5. 2Mx = 3p
3My = , unde punctul M este mijlocul segmentului AB 2p
6. 2
2 2 3 1
sin 1 cos 1 2 4
x x  
= − = − = 
 
3p
Cum 0, 2
x
π ∈ 
  , obținem 1
sin 2
x = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 3
det 1 1 2 3
2 1
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
1 6 5= − = − 2p
b) ( ) 1 1
1 2 3
C − 
− =  
 
, ( ) ( )( )
0 4
1 det 1 16
4 4
A C A C
 
+ − = ⇒ + − = − 
  3p
4 0
det 16
0 4
B −
= = − , deci ( )( )det 1 detA C B+ − = 2p
c) ( ) 2 3 1
8 9
x x
C x A + + 
⋅ =  
 
, ( ) 6 10
2 2 5
x
A C x x
+ 
⋅ =  
+ 
, ( ) ( ) 4 3 9
6 2 4
x
C x A A C x x
− − 
⋅ − ⋅ =  
−  3p
4 3 9 4 0 3
6 2 4 0 4
x x
x
− − −   
= ⇔ =   
−    2p
2.a) ( ) 3 2
1 1 2 1 6 1 3f = + ⋅ − ⋅ + = 3p
1 2 6 3 0= + − + = 2p
b) Câtul este 1X − 3p
Restul este 0 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 2x x x+ + = − , 1 2 1 3 2 3 6x x x x x x+ + = − , 1 2 3 3x x x = − 3p
( ) 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 6
2 0
3
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
+ + −
+ + + + + = + + + = − + =
− 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
' 3 3f x x= − = 3p
( ) ( )( )2
3 1 3 1 1x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 3 3 1
lim lim
x x
f x x x
x x→+∞ →+∞
− − +
= = 2p
3= − 3p
c) ( )' 0f x ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − 2p
( ) ( ) ( )1 1f f x f≤ ≤ − , deci ( )1 3f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − 3p
2.a)
( )
3 3 2
2 2
31 2 2
f x dx x dx x
x
 
− = = = 
 
∫ ∫ 3p
9 4 5= − = 2p
b) ( ) ( )2 'ln 2015F x x x′ = + + = 2p
( )
1
2x f x
x
= + = , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci F este o primitivă a funcției f 3p
c)
( )( )
2 2
2
2
1 1
1
2V f x x dx dx
x
π
π= − = =∫ ∫ 3p
21
1 2x
π
π  
= − = 
  2p